湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期末联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线x2=4y的焦点到准线的距离是(    )A.12 B.1 C.2 D.42.在等差数列{an}中，若a2+a4+a6+a8+a10=150，则a1+a11的值为(    )A.30 B.40 C.50 D.603.已知F1，F2是双曲线x2−y23=1的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，则S△PF1F2的值为(    )A.4 B.6 C.8 D.104.已知数列{an}为等比数列，a1=1256，公比q=2，若Tn是数列{an}的前n项积，则Tn取最小值时n为(    )A.8 B.9 C.8或9 D.9或105.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−2,0)，B(2,0)，点P是平面内一个动点，则下列说法正确的是(    )A.若|PA|+|PB|=4，则点P的轨迹为椭圆B.若|PA|−2|PB|=0，则点P的轨迹为椭圆C.若|PA|−|PB|=4，则点P的轨迹为直线D.若|PA|−|PB|=2，则点P的轨迹为双曲线的一支6.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn=2n+13n−1，则a7b5的值为(    )A.1926 B.2726 C.2732 D.27387.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，且点P在x轴上方，△PF1F2的内切圆圆心为I，若S△PF1F2S△IF1F2=λ(2<λ⩽3)则椭圆的离心率e的取值范围是(    )A.[13,12) B.(0,13] C.[12,1) D.[13,1)8.已知椭圆x2m+y29=1(m>0)的上，下焦点分别为F1，F2，抛物线x2=2py(p>0)的焦点与椭圆的上焦点重合，过F1的倾斜角为π6的直线交椭圆于A，B两点，且AF1=57F1B，点(xn,yn)(n∈N∗)是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)，若x1=2，则x2025的值为(    )A.(12)2023 B.(14)2023 C.(12)2024 D.(13)2024二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点的倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则下列结论正确的是(    )A.x1⋅x2=2 B.y1⋅y2=−4C.若θ=π3，则|AB|=163 D.1|AF|+1|BF|=110.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sn有最大值，且a2023a2024<−1，则下列结论正确的是(    )A.当Sn最大时，n=2023B.使Sk>0的最大k值为4045C.S40460,b>0)的右顶点为A(2,0)，过点A作⊙M:x2+(y−2)2=r2(1b>0)的左，右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，点P是椭圆上在第二象限的点，且P的纵坐标为b2c，若椭圆的离心率e的范围是(22,53]，则|PF1||PF2|的范围是          ．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知数列{an}各项均为正数，设数列{an}的前n项和为Sn，其中2Sn=an2+an．(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=an3n，求数列{bn}的前n项和Tn．16.(本小题15分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为(−1,0)，离心率e为2，过点P(0,−1)的直线l交双曲线左支于A，B两点．(1)求双曲线C的标准方程;(2)若O是坐标原点，且S△AOB=2，求直线l的斜率．17.(本小题15分)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−2．(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=an+1SnSn+1，设Tn为数列{bn}的前n项和，是否存在常数t，使Tn1，证明：数列{an}是等比数列．参考答案1.C 2.D 3.B 4.C 5.D 6.B 7.C 8.A 9.BCD 10.ACD 11.ABD 12.6 13.2n−1 14.[12,1) 15.解：(1)∵2Sn=an2+an，当n=1时，2S1=a12+a1，得a1=1或a1=0(舍)，当n≥2时，2Sn−1=an−12+an−1，∴2an=2Sn−2Sn−1=an2+an−an−12−an−1，即an+an−1=(an+an−1)(an−an−1)，∵数列{an}的各项均为正数，即an+an−1>0，∴an−an−1=1(n≥2)，即数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，∴an=n．(2)∵bn=an3n=n3n，∴Tn=13+232+333+⋯+n3n ①，13Tn=132+233+334+⋯+n3n+1 ②， ①− ②得：23Tn=13+132+133+134+⋯+13n−n3n+1=13(1−13n)1−13−n3n+1=12(1−13n)−n3n+1，∴Tn=34−2n+34×3n 16.解：(1)由题得a=1ca=2a2+b2=c2，解得a=1b=1c=2，∴双曲线C的标准方程为C:x2−y2=1．(2)由题可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx−1，联立双曲线的方程x2−y2=1y=kx−1，得(1−k2)x2+2kx−2=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−2k1−k2，x1⋅x2=−21−k2，∵直线l交双曲线左支于A，B两点，∴{−k2≠0Δ=4k2−4(1−k2)·(−2)>0x1+x2<0x1x2>0,解得−20，得x1+x2=2x0，x1x2=2y0−x02，有x0=x1+x22=xM，得PM⊥x轴，所以M，N，P三点共线．(2) ②因为点P(x0,y0)为半椭圆y22+x2=1(y<0)上的动点，则y022+x02=1，且−2≤y0<0，又M(x1+x22,x12+x222)，所以|PM|=x12+x222−y0=(x1+x2)2−2x1x22−y0=4x02−4y0+2x022−y0=3(x02−y0)，因为|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2=4x02−8y0+4x02=22⋅x02−y0，所以S四边形ABCD=34S△PAB=34×12⋅|PM|⋅|x1−x2|=34×3(x02−y0)×22⋅x02−y0=924(x02−y0)3=924(−y022−y0+1)3，其中−2≤y0<0，当y0=−1时，−y022−y0+1取得最大值32，所以四边形ABDC面积的最大值为2738． 19.解：(1)由题意知，数列{