浙江省温州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试题(B 卷) Word版含解

2024-2025学年浙江省温州市高二第一学期期末检测数学试题（B卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】由直线，则，设直线的倾斜角为，所以，所以故选：A【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.2.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据坐标平面内投影点坐标的特点可得结果.【详解】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为.故选：D.3.若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由等比数列性质，结合充分必要条件的判断，即可求解.【详解】因为正项数列是等比数列，所以，当时，，解得，所以数列为递增数列，满足充分性；当数列为递增数列时，，满足必要性，所以“”是“数列为递增数列”的充要条件.故选：C4.已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（）A.内含 B.相交 C.外切 D.外离【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，再判断位置关系即可.【详解】圆：圆心，半径，圆：的圆心，半径，又，所以，所以圆与圆的位置关系为内含.故选：A.5.已知数列的通项公式为，去掉数列中所有的，得到新数列，则（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】根据题意，由数列的通项公式可得数列的前9项，又由是将中所有能被3整除的项去掉后剩余的项，分析计算可得答案.【详解】根据题意，数列的通项公式为，则，又由是将中所有能被3整除的项去掉后剩余的项，则故选:6.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空间向量共面定理逐项进行判断即可.【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面，对于A，因为，所以共面，故A错误；对于B，因为，所以共面，故B错误；对于C，设，则，方程组无解，所以不共面，故C正确；对于D，因为，所以共面，故D错误；故选：C.7.已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间.【详解】直线过定点，曲线是椭圆的上半部分，当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间，直线l与椭圆上半部分相切时的斜率为，直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率为，所以k的取值范围为.故选：B8.已知数列的前n项和为Sn，满足，对于恒成立，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.4【答案】B【解析】【分析】由累乘法求得，再结合错位相减求和，即可求解.【详解】由题，，又符合上式，所以则，①，，②，由①-②，得，所以，若对于恒成立，即对恒成立，所以对恒成立，所以，所以.故选：B二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线与，则下列说法正确的是（）A.若时，则B.若时，则与重合C.若时，则D.若时，则与交于点【答案】ACD【解析】【分析】根据两直线垂直和平行的判定，结合选项逐项判断即可.详解】对于A，当时，，即，则，故A正确；对于B，当时，，即，则与不重合，故B错误；对于C，当时，，因为，所以，故C正确；对于D，当时，，即，由，得，所以与交于点，故D正确.故选：ACD.10.在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱的中点，则下列说法正确的是（）A.M，N，B，D四点共面B.C.平面D.直线到平面CMN的距离是【答案】AB【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用空间向量的共线定理，线线垂直的向量表示，线面平行的向量求法，线面距离的向量求法，逐一判断各选项，即可求解.【详解】以D为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，对于A，因为，，所以，所以，又不共线，所以，从而M，N，B，D四点共面，故A正确；对于B，因为，所以由，得，故B正确；对于C，因为，由，知MN与不垂直，而在平面内，所以MN与平面不垂直，故C错误：对于D，因为，设是平面CMN的法向量，则由，得：，可取，直线到平面CMN的距离，即点到平面CMN的距离为d，因为，则，故D错误.故选：11.已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，P为直线x=-1上的一动点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.若为等边三角形，则B.若，则存在两个不同的点PC.若A，O，P共线，则与x轴平行D.若A，O，P共线，则的最小值为2【答案】ACD【解析】【分析】由抛物线的性质，求得A点横坐标，即可得，进而判断A；设直线：，联立直线与抛物线方程，求以为直径的圆的表达式，令x=-1，即可求解P点个数，进而判断B；若A，O，P共线，可求P点坐标，根据根与系数关系可得B点纵坐标，从而判断C；，利用基本不等式即可求解，进而判断D.【详解】由题，抛物线的焦点F为，不妨令，对A选项，若为等边三角形，则，根据抛物线的性质可知，此时AP与y轴垂直，故点A的横坐标为3，所以，故A正确；对B选项，由题可知，直线的斜率不为0，令直线：，联立直线与抛物线方程有，所以，，所以以为直径的圆的方程为：，令x=-1，则，整理可得，故只有一个点P可使，故B错误；对C选项，若A，O，P共线，则直线AP：，令x=-1，则，由B选项可知，，所以点B的纵坐标为，所以与x轴平行，故C正确；对D选项，由C选项，，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，若共线，则______.【答案】3【解析】【分析】利用向量共线的条件，能求出x的值.【详解】，向量与共线，，解得，则故答案为：13.已知等比数列的前n项和为，则______.【答案】585【解析】【分析】根据等比数列前n项和的性质即可求解.【详解】由题可知成等比数列，则，所以故答案为：14.已知P是双曲线上的任意一点，分别为点P到双曲线两条渐近线的距离，若，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】设，根据点P到双曲线两条渐近线的距离乘积等于，可得a与c的关系，即可求出离心率.【详解】设，则，即 ，双曲线两条渐近线的方程为，则点P到两条渐近线的距离乘积为： ，即，因为，所以，故故答案是：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列的前n项和为（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，可求得；当时，，对仍成立，可得数列的通项公式；（2）裂项可得，可求得数列的前n项和【小问1详解】当时，；当时，，对仍成立，数列通项公式为；【小问2详解】由（1）知16.已知直线，圆（1）当时，判断直线l与圆C的位置关系；（2）记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值.【答案】（1）相交（2）【解析】【分析】（1）利用点到直线距离，即可判断圆心到直线的距离，与圆半径比较，即可判断直线与圆间的位置关系；（2）已知直线与圆相交的弦长，即可得到圆心到直线的距离，进而根据点到直线的距离公式求解直线斜率.【小问1详解】圆，圆心，半径，又直线，圆心C到直线的距离，所以直线l与圆C相交；【小问2详解】圆心到直线的距离，又，所以，解得17.如图，在平行六面体中，，.（1）求的长；（2）求证：直线平面.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得，再平方即可得到答案；（2）根据，，可得，，再利用线面垂直的判定即可证明.【小问1详解】，可得所以；小问2详解】，，，所以，所以，所以，，所以，所以，又，平面，所以平面.18.已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是常数，动点P的轨迹记为曲线（1）求曲线C的方程；（2）过的直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点.（i）若，求直线l的方程；（ii）若，求的面积.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）或3.【解析】【分析】（1）点Px,y到定点的距离为，点Px,y到定直线的距离为，根据题意列等式，即可求解；（2）（i）设直线l的方程为，与抛物线联立，即可求解k的取值范围和根与系数关系式，由，代入根与系数关系，即可求解k，进而得l方程；（ii），所以，将根与系数关系式代入即可求k，又，代入即可求解.【小问1详解】由已知得：，两边平分并化简得：，即，即为曲线C的方程；【小问2详解】（i）设直线l的方程为，将其代入，得，故，即或，所以，，，，解得，所以；（ii）由，所以，所以x12+x22=x1+x22−2x1x2，所以，或，又当时，；当时，，所以或19.已知数列为公差不为0的等差数列，数列为等比数列，记数列为数列（1）若，且为等比数列，求数列的通项公式；（2）若，求证：存在m，使得为等差数列；（3）若存在m，满足是等比数列，求n的最大值.【答案】（1）或（2）证明见解析（3）5【解析】【分析】（1）利用等差数列和等比数列的性质求解即可；（2）求出特例，将时，构成等差数列，即可证明；（3）当时，不妨记为，则为等比数列，，可以看出不符合题意，且最多只能有两个来自数列，再验证是否满足即可.【小问1详解】由已知得，是等差数列，，，为等比数列，，，是等比数列，或；【小问2详解】当时，，构成等差数列；【小问3详解】设等差数列的公差为，当时，则中至少有3项来自数列，不妨记为，则为等比数列，，，舍去），且最多只能有两项来自数列，当时，来自数列，取或，构造等差数列，此时为有5项的等比数列.