湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题 Word版含解析

2025年高二下学期数学入学试题一、单选题（共40分）1.抛物线y2＝x的焦点坐标是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】可以先确定开口方向，再根据方程得的值，进而得到焦点坐标.【详解】由y2＝x知抛物线的焦点在轴上，且开口向右，,∴，焦点坐标为，故选:B．【点睛】根据抛物线的方程求焦点坐标、准线方程时，可以总结如下：的焦点坐标,准线方程；的焦点坐标,准线方程.2.已知，，O为坐标原点，若，则点B的坐标应为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】,所以,所以,故选：B3.在三角形中，，，，则（）第1页/共17页A.10B.12C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的数量积公式求得结果.【详解】记，则，，，．故选：A.4.在三棱柱中，若，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.【详解】由题可知.故选：D5.已知四棱锥中，，，，则点到底面的距离为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出平面的一个法向量，然后求与法向量夹角的余弦值，利用点到面的距离公式即可求解.第2页/共17页【详解】设是平面的一个法向量，则由题设，即令，可得，，所以，，，，，故点到平面的距离为故点到平面的距离为，故选：D．【点睛】方法点睛：向量方法求点到面的距离设是平面的一条斜线，是平面的一个法向量，则点到平面的距离为6.在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（）A.B.C.3D.9【答案】D【解析】【分析】根据等比数列性质可得,再由根与系数的关系计算可得结果.第3页/共17页【详解】由是方程两根可得，由等比数列性质可得，解得或（舍）；所以.故选：D7.已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用焦点三角形的周长为，及，结合椭圆的知识求解出椭圆方程即可.【详解】因为的最小值为1，所以．因为的周长为34，所以，所以．因为，所以，所以椭圆C的标准方程为．故选：C.8.过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的斜率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，由得到，当直线的斜率为0时不合要求，当直线的斜率不为0时，设，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，从而列出方程，得到第4页/共17页，求出直线的斜率.【详解】由题意得：，因为，则，设，则，当直线的斜率为0时，此时直线l与抛物线只有1个交点，不合要求，当直线的斜率不为0时，设，则联立与抛物线方程，得，则，因为，故，所以，解得：，故直线l的斜率为.故选：C．二、多选题（共15分）9.已知数列的前项和，则下列说法正确的是（）A.B.数列为单调递增数列C.数列是等比数列D.【答案】ABC【解析】【分析】利用的关系求出可判断AD；利用等比数列的定义可判断C；由首项及公比可判断B.【详解】∵，∴，故A正确；当时，，∴，也适合，第5页/共17页∴，故D错误；∵，∴数列是公比为3的等比数列，故C正确；∵，公比大于1，∴数列为单调递增数列，故B正确.故选：ABC.10.下列关于双曲线的结论中，正确的是（）A.离心率为B.焦距为C.两条渐近线互相垂直D.焦点到渐近线的距离为1【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线的基本知识对选项一一验证即可.【详解】双曲线，可得，，，则双曲线的离线率为，故A正确；焦距，故B错误；渐近线为与，且斜率之积为-1，即两条渐近线互相垂直，故C正确；焦点到渐近线的距离为，故D正确；故选：ACD.11.如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，则下列说法正确的是（）A.，，，四点共面B.C.直线与所成角的余弦值为D.点到直线的距离为1【答案】BD第6页/共17页【解析】【分析】根据直线位置关系可判断A；建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明方法可判断B；根据空间角的向量求法可判断C；根据空间距离的向量求法可判读D.【详解】对于A，连接，则平面，平面，平面平面，故不相交；又，,平面，故不平行，否则重合，不合题意，即为异面直线，故，，，四点不共面，A错误；对于B，以D为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，则，则，即，故，B正确；对于C，，则,故，而直线与所成角的范围为，故直线与所成角的余弦值为，C错误；对于D，，则点到直线的距离为，D正确，第7页/共17页故选：BD三、填空题（共25分）12.双曲线的渐近线方程为__________.【答案】【解析】【分析】根据双曲线的性质求得渐近线方程.【详解】由双曲线，可得，所以双曲线的焦点在轴上的渐近线方程为：.故答案：.13.在平面直角坐标系中，已知的顶点，，点在椭圆上，则______．【答案】【解析】【分析】由椭圆的方程可得，，的值，可知为椭圆的焦点，由正弦定理可得，再由椭圆的定义可知，进而求出它的值．【详解】由椭圆的方程可得，，所以，所以可得为椭圆的焦点，由椭圆的定义可知，在中，由正弦定理可得．故答案为：．第8页/共17页14.已知圆，直线，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据圆的性质，得到四边形面积，结合圆的弦长公式，即可求解.【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为，则四边形面积，要使得四边形面积的最小值，只需最小，由圆心到直线的距离为，所以四边形面积的最小值为.故答案为：.15.若数列满足，则__________.【答案】【解析】【分析】根据数列的递推关系求得周期为3，运算得解.【详解】因为，，所以，，，第9页/共17页所以是周期为3的数列，故.故答案为：.16.设是空间中两两夹角都为的三条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，若，则把有序数对叫作向量在坐标系中的坐标.（1）若，且，则__________；（2）若，则三棱锥的表面积为__________.【答案】①.1②.【解析】【分析】（1）由向量的线性运算和坐标系中坐标的定义，解出即可；（2）由题意，三棱锥为棱长为2的正四面体，利用面积公式求表面积即可.【详解】（1）若，且，有，则；（2）依题意，，两两夹角为，且模都是2，则三棱锥是正四面体，则表面积.故答案为：1；四、解答题（共70分）17.某城市在进行新冠疫情防控中，为了解居民对新冠疫情防控的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分为100分），从中随机抽取一个容量为180的样本，发现所有数据均在内．现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答下列问题：第10页/共17页（1）算出第三组的频数，并补全频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）【答案】（1）27（人），作图见解析；（2）众数为75分，中位数75分，平均数为73.5分．【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质结合图形即可求解；（2）根据由频率分布直方图计算众数，中位数，平均数的方法求解即可【详解】（1）因为各组的频率之和等于1，所以分数在内的频率为：，所以第三组的频数为（人），完整的频率分布直方图如图，（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分；因为，，所以中位数位于上，所以中位数的估计值为：；又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：（分）．所以，样本的众数为75分，中位数75分，平均数为73.5分．18.已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题（1）若“且”是真命题，求的取值范围；第11页/共17页（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）若p为真：△≥0；若q为真：则，若“p且q”是真命题，求其交集即可得出；（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t，t+1）⊊（-1，2），解出即可得出试题解析：（1）若为真：解得若为真：则解得若“且”是真命题，则解得（2）由是的必要不充分条件，则可得即（等号不同时成立）解得考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假19.圆的圆心为，且过点.（1）求圆的标准方程；（2）直线：与圆交，两点，且，求.【答案】（1）（2）1或【解析】【分析】(1)利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程；第12页/共17页(2)求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出.【小问1详解】因为圆半径，所以圆的标准方程为：.【小问2详解】设圆心到直线：的距离为，则，由垂径定理可得，即，解得或.20.已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线交于不同的两点A、B，且线段的中点在圆上，求实数的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由渐近线为可得，根据焦点到渐近线的距离是，求出c，利用双曲线中即可求得双曲线方程；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算．【小问1详解】第13页/共17页解：由题知，，设右焦点，取一条渐近线，则焦点到渐近线的距离，，从而，所以双曲线的方程为.【小问2详解】解：设，，由，得，则，，所以，则中点坐标为，代入圆，得，所以．21.已知数列满足，且点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）数列前项和为，求能使对恒成立的（）的最小值.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）由题设易得为等差数列，即可求其通项公式；第14页/共17页（2）对数列的通项分析可通过裂项相消法求前项和，将恒成立问题转化为求的最大值或上界问题即得.【小问1详解】点在直线上，得，所以数列是以首项为，公差为2的等差数列．故，即．【小问2详解】，所以即，因，故，故要使对恒成立，需使，即，又，所以的最小值为5.22.在三棱台中，平面，，，，为中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．第15页/共17页【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，证明四边形为平行四边形，推出，根据线面平行的判定定理，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】取的中点，连接，，得为的中位线，，且．由于∽，，故，而，，则，，四边形为平行四边形，．又平面，平面，平面．小问2详解】如图，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，所以，．第16页/共17页设平面一个法向量为，由，得，令，则可取．平面平面的法向量可取为．设平面与平面的夹角为，,则，平面与平面的夹角余弦值为.第17页/共17页