陕西省西安市新城区2024-2025学年高一上学期1月期末质量检测数学试题 Word版含解析

2024～2025学年度第一学期期末质量检测高一数学试题注意事项：1．本试题共4页，满分120分，时间100分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共47分）一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据交集的知识确定正确选项.详解】∵集合，，∴.故选：D2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定的知识来确定正确答案.【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，第1页/共16页学科网（北京）股份有限公司注意到要否定结论而不是否定条件，所以命题“”的否定是：.故选：B3.我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．函数的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据特殊点的函数值来确定正确答案.【详解】，所以BD选项错误.，所以C选项错误.故选：A4.将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得函数图象的解析式可能为（）A.B.第2页/共16页学科网（北京）股份有限公司C.D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象变换的知识来确定正确答案.【详解】将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数图象解析式：，再向下平移1个单位长度后，得到函数图象解析式：.故选：D.5.已知，则“”是“”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】由不等式的性质可知由，由，故选：A6.某工厂产生的废气经过循环滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为（是自然对数的底数，，为正的常数）．若前12消除了的污染物，则24后的污染物含量约为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据已知条件“前消除了的污染物”求出的值，再将代入关系式求出后第3页/共16页学科网（北京）股份有限公司的污染物含量【详解】已知过滤过程中废气的污染物含量与时间之间的关系为，当时，因为前消除了的污染物，所以此时剩余的污染物含量为，即，将，代入可得：两边同时除以（），得到，对等式两边取自然对数可得：，解出，将，代入可得：所以后的污染物含量约为.故选：C7.若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】讨论两种情况，时先求出函数的对称轴，再根据二次函数在区间上不具有单调性，可判断对称轴在区间上，进而得到答案.【详解】时，在上递减，不合题意；时，函数图象的对称轴为直线，因为函数在区间上不具有单调性，所以，解得，所以实数的取值范围是，第4页/共16页学科网（北京）股份有限公司故选：A.8.设，用表示不超过的最大整数，例如，，．我们把称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费．下列说法正确的是（）A.B.函数是偶函数C.函数的最小值为0D.，若，则【答案】C【解析】【分析】根据取整函数的定义，对每个选项逐一进行分析判断，从而确定正确答案.【详解】选项A：因为，根据取整函数表示不超过的最大整数，所以，而不是，A选项错误.选项B：函数的定义域为，关于原点对称，，例如时，，；，所以不是偶函数，B选项错误.选项C：设，当时，，则，此时，所以的值域是，其最小值为，C选项正确，选项D：若，设，，，，那么，所以，所以不存在，使得当时，，D选项错误.故选：C第5页/共16页学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛对于涉及取整函数的题目，关键是要准确理解取整函数的定义，即不超过的最大整数，研究函数的性质（如奇偶性、最值等）时，要根据函数的表达式，结合定义进行分析，对于奇偶性，要判断与的关系；对于最值，要先确定函数的取值范围.二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，且，则下列运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据指数幂运算以及对数的性质逐项分析判断即可.【详解】对于选项A：，故A错误；对于选项B：，故B正确；对于选项C：，故C错误；对于选项D：，故D正确；故选：BD.10.已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则下列说法正确的有（）A.是奇函数B.是偶函数C.若在上单调递增，则当时，D.若在上单调递减，则当时，【答案】ACD【解析】【分析】直接利用函数奇偶性的定义判断AB；根据奇函数的图象关于原点对称判断C；根据偶函数的图象第6页/共16页学科网（北京）股份有限公司关于对称判断D.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，所以，.A.设，则，所以是奇函数，故正确；B.设，则，所以不是偶函数，故错误；C.因为函数是定义在上的奇函数，所以其图象关于原点对称，若在上单调递增，则在上单调递增，当时，，正确；D.因为是定义在上的偶函数，所以其图象关于轴对称，若在上单调递减，则在上单调递增，当时，，正确.故选：ACD.11已知函数，则（）A.存在点，使得的图象关于点中心对称B.的一个周期为C.的值域为D.在内有且仅有2零点【答案】BD【解析】【分析】根据三角函数的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】选项A：若函数的图象关于点中心对称，则有恒成立.对于，，所以函数是偶函数，其图象关于轴对称.第7页/共16页学科网（北京）股份有限公司假设存在点使得的图象关于点中心对称，，若，的值不恒为常数，所以不存在点，使得的图象关于点中心对称，A选项错误.选项B：若是函数的周期，则恒成立.，所以是的一个周期，B选项正确.选项C：因为，那么.令，函数在上的值域是，因为，所以的值域是，不是，C选项错误.选项D：令，则，即.当时，.对于，当时，，在单调递增，在单调递减，所以在内有个解.当取其他整数时，.所以在内有且仅有个零点，D选项正确.故选：BD【点睛】思路点睛：遇到判断函数性质的问题，先明确函数的类型（如本题是三角函数相关的复合函数），然后根据三角函数的基本性质（对称性、周期性、值域、零点等）的定义和相关结论进行分析,对于复合函数，要注意内外层函数之间的关系和相互影响.第Ⅱ卷（非选择题共73分）第8页/共16页学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分．12.函数的定义域为__________．【答案】【解析】【分析】解不等式,即得解.【详解】解：由题意得.解得.故答案为：13.已知正数，满足，则的最小值为________．【答案】1【解析】【分析】由乘“1”法即可求解；【详解】因为，所以，当且仅当时，取等号，所以的最小值为1，故答案为：114.若函数在定义域内存在单调区间，且其图象的两条对称轴分别为直线和，则的一个解析式可以是________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定条件，可得函数是周期函数，确定函数的一个周期写出解析式.第9页/共16页学科网（北京）股份有限公司【详解】依题意，函数是周期函数，它的一个周期是，又函数在定义域内存在单调区间，可选该函数为余弦型函数，令，显然，直线和是图象的对称轴，符合题意.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知，且是第二象限角．（1）求和的值；（2）求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式来求得正确答案.（2）根据诱导公式来求得正确答案.小问1详解】，且是第二象限角，，．【小问2详解】第10页/共16页学科网（北京）股份有限公司．16.已知幂函数在区间上单调递增．（1）求的解析式；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义和性质来求得的值，从而求得的解析式.（2）根据函数的单调性化简不等式，从而求得的取值范围.【小问1详解】是幂函数，，解得或，又幂函数在区间上单调递增，，即．【小问2详解】）易知在上单调递增，又，，即，解得，实数的取值范围为．17.已知函数（，且）（1）求函数定义域；第11页/共16页学科网（北京）股份有限公司（2）若函数在区间上的最大值为2，求实数的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数定义域的求法来求得正确答案.（2）化简的解析式，对进行分类讨论，根据最值列方程来求得的值.【小问1详解】要使函数的解析式有意义，则解得，函数的定义域为．【小问2详解】，当时，，当时，函数在上单调递减，此时，，即，解得（舍）．当时，函数在上单调递增，此时，，即，解得或（舍）．综上，实数的值为．18.已知函数．（1）求函数的最小正周期；第12页/共16页学科网（北京）股份有限公司（2）讨论函数在区间上的单调性；（3）当时，求不等式的解集．【答案】（1）（2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减（3）【解析】【分析】（1）先利用正弦、余弦的二倍角公式和余弦的两角差公式化简，再根据周期公式求解即可；（2）根据余弦函数的图象和性质求解即可；（3）令解得或，结合（2）中单调性即可求解.【小问1详解】由题意，函数的最小正周期为．【小问2详解】因为函数的单调递增区间为，单调递减区间为，由，解得，当时，，由，解得，当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减．【小问3详解】第13页/共16页学科网（北京）股份有限公司令，解得或，即或，当时，方程的解为或，结合（2）中单调性的结论知，当时，，所以当时，不等式的解集为．19.若在函数的定义域内存在，使得成立，则称具有性质．（1）试判断函数是否具有性质；（2）证明：函数具有性质；（3）若函数具有性质，求实数的取值范围．【答案】（1）不具有性质（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据性质的定义判断即可；（2）函数，根据性质的定义证明即可；（3）由已知可得，令，则问题转化为存在的根，计算求解即可得出解.【小问1详解】假设函数具有性质，则存，使得，第14页/共16页学科网（北京）股份有限公司即，即，显然不成立，假设不成立，即不具有性质．【小问2详解】证明：，，，，令，得，即，即，又函数的定义域为，，函数具有性质．【小问3详解】函数的定义域为，且具有性质，，即，令，则，，，解得或，当方程有一个正根时，即，即，此时．当方程有两个正根时，当，即时，此时．实数的取值范围为第15页/共16页学科网（北京）股份有限公司第16页/共16页