辽宁省七校协作体2024-2025学年度（下）3月高三联考数学答案

2024-2025学年度(下)七校协作体3月高三联考数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x∣-1≤x≤2},B=x∣y=1-x，则A∩B=()A.(-1,2)B.[-1,1]C.(-1,1)D.[0,2]【答案】B【详解】B=x∣y=1-x=xx≤1.则A∩B=-1,1故选：B2i2.已知i为虚数单位，若z=，则z2=()1+iA.2iB.-2iC.2D.-2【答案】A2i【详解】解：因为z=，1+i2i2-42所以z2===-=2i.1+i1+2i-1i故选：A3.已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为y=bx+0.16，由它计算出成对样本数据(2,1.4)对应的残差为0.12(残差=观测值-预测值)，则b=()A.0.28B.0.56C.0.34D.0.48【答案】B【详解】因为y关于x的经验回归方程为y=bx+0.16，所以预测值为y=b×2+0.16，又因为残差=观测值-预测值，所以0.12=1.4-2b+0.16，所以b=0.56.故选：B.4.若直线l1：x+2y-3=0与直线l2：kx-2y+1=0k∈R平行，则这两条直线间的距离为()525445A.B.C.D.5555【答案】B【详解】因为直线l1：x+2y-3=0与直线l2：kx-2y+1=0k∈R平行，k-21所以=≠，所以k=-1，12-3所以直线l2：-x-2y+1=0即x+2y-1=0，-1--325所以这两条直线间的距离为d==.12+225·1·故选：B.*5.已知等比数列an的公比为q，前nn∈N项和为Sn，若S6=9S3，则下列结论公比q=()11A.q=2B.q=C.q=-2D.q=-22【答案】A【详解】由于S6=9S3，若q=1，则S6=6a1,S3=3a1,9S3=27a1，而a1≠0，则S6≠9S3，所以q=1不符合题意.a1-q69a1-q3当q≠0且q≠1时，1=1，1-q1-q即1-q6=91-q3，即1+q31-q3=91-q3，则1-q3=9,q3=8,q=2.故选：A6.记a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边，则“△ABC为直角三角形”是“asinC-acosC=c-b”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【详解】在△ABC中，由asinC-acosC=c-b及正弦定理，得sinAsinC-sinAcosC=sinC-sinB=sinC-sin(A+C)=sinC-sinAcosC-cosAsinC，则sinAsinC=sinC-sinCcosA，而sinC>0，则sinA+cosA=1，两边平方整理得2sinAcosA=0，而00,cosA=0，A=，因此△ABC为直角三角形；2πππ反之，△ABC为直角三角形，A=或B=或C=，222所以“△ABC为直角三角形”是“asinC-acosC=c-b”的必要不充分条件，B正确.故选：B7.2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以4:2的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制(先胜4局者胜，2比赛结束)，已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合以4:1获胜的概率为()316804264A.B.C.D.243243243243【答案】D【详解】由题意“莎头”组合以4:1获胜，即前四局胜三局，负一局，第五局获胜，231264所以获胜概率为：C3×=，4333243故选：D28.已知过点P(-2,1)的直线l与抛物线x=2y交于点A，B两点.若A，B的横坐标分别为x1,x2.则·2·x1+2x2+2=()A.-4B.-3C.0D.2【答案】D【详解】由题意可知直线AB的斜率存在，设直线方程为y-1=kx+2，y-1=kx+2联立可得，消去y可得x2-2kx-4k-2=0，x2=2y2由Δ=-2k-4×-4k-2=4k2+16k+8>0，则x1+x2=2k，x1x2=-4k-2，所以x1+2x2+2=x1x2+2x1+x2+4=-4k-2+4k+4=2.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知α,β是两个不重合的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是()A.若m⊥α,m⊥β，则α⎳βB.若α⊥β,m⊥α,n⊥β，则m⊥nC.若m⎳n,m⎳α，则n⎳αD.若m⎳α,m⎳β,α∩β=n，则m⎳n【答案】ABD【详解】对于A，根据线面垂直的性质可得若m⊥α,m⊥β，则α⎳β，即A正确；对于B，易知若α⊥β,m⊥α可得m⎳α或m⊂α，又n⊥β可知m⊥n，即B正确；对于C，若m⎳n,m⎳α，则n⎳α或n⊂α，因此C错误；对于D，如果直线m平行于平面α和β，且α和β的交线为n，那么直线m必须平行于n；假设m不平行于n，它必将与其中一个平面相交，这与m平行于两个平面的条件相互矛盾，所以若m⎳α,m⎳β,α∩β=n，则m⎳n，故D正确。故选：ABD10.设正实数m，n满足m+n=2，则()123A.+的最小值为+2B.m+n的最大值为2mn211C.mn的最大值为D.m2+n2的最小值为42【答案】AB【详解】由m+n=2，m,n>0，121121n2m1n2m3则+=+m+n=++3≥2⋅+3=2+，mn2mn2mn2mn2n2m当且仅当=，即m=22-2,n=4-22时等号成立，mn123则+的最小值为+2，故A正确；mn22m+n由m+n=m+n+2mn=2+2mn≤2+2⋅=4，2当且仅当m=n=1时等号成立，则m+n的最大值为2，故B正确；m+n2由mn≤=1，当且仅当m=n=1时等号成立，2则mn的最大值为1，故C错误；·3·2由m2+n2=m+n-2mn=4-2mn≥4-2×1=2，当且仅当m=n=1时等号成立，则m2+n2的最小值为2，故D错误.故选：AB.11.已知函数f(x)=sinx+cosx+sin2x+cos2x，则()A.π是f(x)的一个周期B.f(x)是非奇非偶函数C.f(x)的最小值为-22D.关于x的方程f(x)=f(2x)有无数个实数解【答案】BD【详解】对于A，由fx+π=sinx+π+cosx+π+sin2x+2π+cos2x+2π=-sinx-cosx+sin2x+cos2x≠fx，则π不是函数fx的一个周期，故A错误；对于B，由fx=sinx+cosx+sin2x+cos2x，则其定义域为ℝ，因为f-x=sin-x+cos-x+sin2-x+cos2-x=-sinx+cosx-sin2x+cos2x，所以函数fx是非奇非偶函数，故B正确；π3π对于C，sinx+cosx=2sinx+≥-2，当且仅当x=-+2kπ，k∈Z，等号成立；4411π3πsin2x+cos2x=2sin2x+≥-2，当且仅当x=-+kπ，k∈Z，等号成立，48223π3π由-+2kπ≠-+kπ，则fx>-22，故C错误；4182min对于D，由fx=f2x，则sinx+cosx+sin2x+cos2x=sin2x+cos2x+sin4x+cos4x，ππ可得sinx+cosx=sin4x+cos4x，整理可得2sinx+=2sin4x+，44ππππ解得x+=4x++2kπ或x+=π-4x++2kπ，k∈Z，44442kππ2化简可得x=-或+kπ，k∈Z，故D正确.3105故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量ξ与服从正态分布N4,σ2,P(ξ<6)=2P(ξ<2)，则P(2<ξ<4)=.【答案】16【详解】解：设P(2<ξ<4)=x，则P(4<ξ<6)=x，1所以P(ξ<2)=-x，2又因为P(ξ<6)=2P(ξ<2)，111所以2-x=-x+x+x=+x，2221解得x=.6故答案为：1613.若非零向量a与单位向量e共线，且a+e=e，则a=.【答案】2【详解】因为非零向量a与单位向量e共线，则a=λeλ≠0，且e=1，·4·22因为a+e=e，则a+e=e2，即λe+e=e2，整理得λ2+2λ=0，解得λ=0(舍)或λ=-2，所以a=-2e=2e=2.故答案为：2.14.如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱AC，AD于E，F两点，且四面1体ABEF的体积为四面体ABCD体积的，则S=，EF的最小值为.3△AEF3131【答案】①.##3②.##3121233111133【详解】因为V=V，则S=S=××1×1×=，B-AEF3B-ACD△AEF3△ACD32212记EF=a,AE=b,AF=c，131因为bcsin60°=，即bc=。21231又因为a2=b2+c2-2bccos60°≥2bc-bc=bc=，3b=c3当且仅当1，即b=c=时，取等号.bc=333所以a的最小值为.333故答案为：；.123四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.315.已知函数f(x)=x2-6ax+blnx+2a2(a,b∈R)2(1)若f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为4x-2y-1=0，求a与b的值；5(2)若f(x)在x=1处有极值-，求a与b的值.2【答案】(1)a=0，b=-1或a=3，b=17(2)a=2,b=9【解析】【小问1详解】3b因为f(x)=x2-6ax+blnx+2a2，所以f(x)=3x-6a+，2x3所以f(1)=-6a+2a2，f(1)=3-6a+b，2因为切线方程为4x-2y-1=0，f(1)=3-6a+2a2=3a=0a=3所以22，解得或，f(1)=3-6a+b=2b=-1b=17·5·所以a=0，b=-1或a=3，b=17.【小问2详解】5∵函数f(x)在x=1处有极值-235∴f(1)=3-6a+b=0且f(1)=-6a+2a2=-，解得a=1，b=3或a=2,b=92233(x-1)2当a=1，b=3时，f(x)=3x-6+=≥0恒成立，此时函数无极值点，xx93(x-1)(x-3)当a=2,b=9时，f(x)=3x-12+=，此时1是极值点，满足题意，xx所以a=2,b=9.116.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB⎳DC，AB=CD=2AD=1，M为棱PC的中点.(1)证明：BM⎳平面PAD；(2)若PC=5，PD=1，求二面角P-DM-B的正弦值.【答案】(1)证明见解析30(2)6【解析】【小问1详解】取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：1∵M为棱PC的中点，∴MN⎳CD，MN=CD，21∵AB⎳CD，AB=CD，∴AB⎳MN，AB=MN，2四边形ABMN是平行四边形，∴BM⎳AN，又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，∴BM⎳平面PAD.【小问2详解】∵PC=5,PD=1,CD=2，∴PC2=PD2+CD2，∴PD⊥DC，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，PD⊂平面PDC，∴PD⊥平面ABCD，又AD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥CD，又AD⊥DC，以点D为坐标原点，DA，DC，