江西省赣州市2025届高三下学期3月摸底考试数学试卷（赣州一模）（含答案）

江西省赣州市2025届高三下学期3月摸底考试数学试卷（赣州一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−2x−3<0}，B={x|3x−a<0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(    )A.(9,+∞) B.[9,+∞) C.(−∞,−3) D.(−∞,−3]2.已知复数z满足|z+1|=|z+3−2i|，且z在复平面内对应的点为(x,y)，则(    )A.x−y+3=0 B.x+y+3=0 C.5x−2y+6=0 D.5x+2y+6=03.函数f(x)=2tanx1−tan2x的最小正周期是(    )A.π4 B.π2 C.π D.2π4.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足3an=2Sn+1，则S5=(    )A.11 B.31 C.61 D.1215.甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球(两箱中的球除颜色外没有其他区别)，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球的概率为(    )A.875 B.1175 C.415 D.456.已知函数f(x)=2cos(ωx+π6)，x∈[−π,0]，若f(x)恰有3个极值点，则正数ω的取值范围为(    )A.[83,113) B.(83,113] C.[136,196) D.(136,196]7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，圆x2+y2=a2与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线A1M交C的右支于点P，若∠PA2M的角平分线与y轴平行，则C的离心率为(    )A.2 B.2 C.3 D.58.已知75>233，记a=log73，b=log115，c=log237，则(    )A.c>b>a B.c>a>b C.b>c>a D.b>a>c二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知(2x+1)(x−2)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，(a7≠0)，则(    )A.n=6 B.a5=−108C.a0+a1+a2+⋯+a7=3 D.a0+a2+a4+a6=−36310.设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若f(x)的图像绕原点逆时针π3旋转后与原图像重合，则下列选项中f(1)的取值可能为(    )A.33 B.1 C.3 D.211.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)为抛物线C:y2=4x上异于原点O的两个动点，且∠AOB=90∘，作ON⊥AB交直线AB于点N，则(    )A.直线AB恒过定点(2,0) B.|AB|≥8C.存在一个定点Q，使得|NQ|为定值 D.|x1−y1+1|+|x2−y2+1|≥9三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,2)，b=(−1,m)，且(a−5b)⊥a，则|b|=          ．13.在三棱锥P−ABC中，点P在平面ABC的射影为AB的中点，且AC⊥BC，AC=BC=2，设该三棱锥的体积为V，该三棱锥外接球的表面积为S，若V∈[23,2]，则S的取值范围为          ．14.若a，b∈R，自然对数的底数为e，则e2a+e2b−2(aeb+bea)+a2+b2的最小值为          ．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanAtanB=(2tanA−tanB)tanC.(1)求证：a2+c2=2b2;(2)已知b=2，当角B取最大值时，求△ABC的面积．16.(本小题12分)如图所示，平面ACEF⊥平面ABCD，且四边形ACEF为矩形，在四边形ABCD中，∠ADC=120∘，AB=2AD=2CD=2BC=6．(1)证明：平面BCE⊥平面ACEF;(2)若FG=2GE，再从条件 ①、条件 ②中选择一个作为已知条件，求二面角F−BD−G的余弦值．条件 ①:异面直线CD与BE所成角的余弦值为2114;条件 ②:直线BF与平面ACEF所成角的正弦值为34．17.(本小题12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其左顶点为P，上顶点为Q，直线PQ交直线x=a于R，且|PR|=2|OR|=62(其中O为坐标原点)．(1)求椭圆C的标准方程;(2)点N在x轴上，过点N作直线l与E交于A，B两点，问：是否存在定点N，使得1|AN|2+1|BN|2为定值，若存在，求出所有点N的坐标并且求出定值;若不存在，请说明理由．18.(本小题12分)已知函数f(x)=ex−mx(其中e为自然对数的底数)有两个零点x1，x2．(1)求m的取值范围;(2)(ⅰ)证明：对一切的a，b∈(0,+∞)且a≠b，都有a−blna−lnb3．19.(本小题12分)十进制与二进制是常见的数制，其中十进制的数据是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数码来表示的数，基数为10，进位规则是“逢十进一”，借位规则是“借一当十”;二进制的数据是由0，1这两个数码来表示的数，基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”;例如：十进制的数20对应二进制表示的数为101002，二进制的数11112对应十进制表示的数为15.用∑(A)表示非空的整数集合A的所有元素的和，已知集合A={a1,a2,⋯,an}，ai∈N+，i=1，2，⋯，n且a1|=|n1⋅n2||n1|⋅n2=427=277．故二面角F−BD−G的余弦值为277． 17.解：(1)由题意知P(−a,0)，Q(0,b)，R(a,2b)，∴|OR|=a2+4b2=6，|PR|=4a2+4b2=62，又a>0，b>0，解得a=23，b=6，∴椭圆E的标准方程为x212+y26=1．(2)证明：由题设N(n,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，①当直线AB斜率不为0时，设直线AB:x=my+n，联立x=my+nx212+y26=1得，(2+m2)y2+2mny+n2−12=0，需△=4m2n2−4(2+m2)(n2−12)=48m2−8n2+96>0，得n2<6m2+12，此时y1+y2=−2mn2+m2，y1y2=n2−122+m2，故1|AN|2+1|BN|2=1(x1−n)2+y12+1(x2−n)2+y22=11+m2(1y12+1y22)=11+m2y12+y22y12y22=11+m2(y1+y2)2−2y1y2y12y22=11+m2[(y1+y2)2y1y2)−2y1y2]=11+m2[(−2mnn2−12)2−2(2+m2)n2−12]=11+m24m2n2−2(2+m2)(n2−12)(n2−12)2=11+m2(2n2+24)m2−4n2+48(n2−12)2，若1|AN|2+1|BN|2为定值，∴2n2+24=−4n2+48得n2=4，n=±2，此时1|AN|2+1|BN|2=−4×4+48(4−12)2=12． ②当直线AB斜率为0时，不妨设A(−23,0)，B(23,0)，M(2,0)，此时1|AN|2+1|BN|2=1(23+2)2+1(23−2)2=12，符合题设．又n2=4<12≤6m2+12恒成立，∴存在定点N(2,0)或N(−2,0)，使得1|AN|2+1|BN|2的值为12(定值)． 18.解：(1)由f(x)=ex−mx得f′(x)=ex−m， ①当m≤0时，f′(x)>0，此时f(x)在R上递增，不合题意， ②当m>0时，令f′(x)>0得x>lnm;令f′(x)<0得xe，又f(0)=1>0，f(m)=em−m2>0(或x→+∞，f(x)→+∞)，故f(x)在(0,lnm)与(lnm,+∞)分别存在一个零点，符合题设，故m的取值范围为(e,+∞).(另解1):由f(x)=ex−mx=0得，ex=mx，m=exx，令g(x)=exx，g′(x)=ex(x−1)x2，当x∈(−∞,0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减且g(x)<0，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，