内蒙古赤峰市2025届高三下学期3·20模拟考试数学试卷（含答案）

内蒙古赤峰市2025届高三下学期3·20模拟考试数学试题一、单选题1．如图，向量对应的复数是，则的值为（    ）A．6 B． C．13 D．2．已知集合，其中表示不超过的最大整数，，则（    ）A． B．C． D．3．已知向量和满足与的夹角为，则（    ）A． B．2 C． D．4．已知锐角满足，则的值为（    ）A． B． C． D．5．在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（    ）A． B． C． D．6．某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（    ）A． B． C． D．7．如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆面，若，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．8．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（    ）A． B． C． D．二、多选题9．已知数列的前项和为，且，若，则（    ）A． B．是公差为2的等差数列C． D．10．已知函数，则（    ）A．是周期为的函数B．与函数是同一函数C．是的一条对称轴D．在区间上的取值范围是11．数学里常研究一些形状特殊的曲线，常用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线（如图所示），则下列关于曲线的说法正确的有（    ）A．周长大于25B．共有4条对称轴C．围成的封闭图形面积小于14D．围成的封闭图形内能放入圆的最大半径为1三、填空题12．展开式的常数项为.13．锐角中，分别为角所对的边，且，若，则周长的取值范围是.14．已知函数在上的最大值比最小值大，则.四、解答题15．为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，随机抽取了200名高三年级学生，整理数据得到如下列联表，并画出身高的频率分布直方图：性别身高合计低于不低于女20男50合计200(1)根据身高的频率分布直方图，求列联表中的，的值；(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为“高三年级学生的性别”与“身高是否低于”有关联？(3)将样本频率视为概率，在全市不低于的学生中随机抽取6人，其中不低于的人数记为，求的期望.附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82816．已知函数.(1)求在点处的切线方程；(2)若函数有两个极值点，求的取值范围.17．已知数列中，.(1)若依次成等差数列，求；(2)若，证明数列为等比数列，并求数列的前项和.18．如图所示，三棱柱中，平面平面，，，点为棱的中点，动点满足.(1)当时，求证：；(2)若平面与平面所成角的正切值为，求的值.19．已知点为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若过点的直线与曲线相切，且与直线分别交于点.（i）证明：点为线段的中点；（ii）求的取值范围.题号12345678910答案CDDBACDBACDAD题号11答案ABC12．6013．14．115．（1）由图，低于的学生有人，则不低于170cm的学生有人.从而，；（2）零假设为：性别与身高没有关联，计算可得根据的独立性检验，推断不成立，因此该市高三年级学生的性别与身高是否低于170cm有关联；（3）样本中抽中不低于175cm的频数为人样本中抽中不低于175cm的频率为将样本频率视为概率，在全市不低于170cm的学生中随机抽取6人，其中不低于175cm的人数记为，则.16．（1）函数的定义域为，，故，，所以，在点处切线方程为，即.（2）函数的定义域为，且，有两个极值点等价于有两个不等正根，即有两个不等正根，设，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，如下图所示：当时，直线与函数的图象有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为、，由图可知，当或时，，则，当时，，则，所以，函数的增区间为、，减区间为，此时，函数的极大值点为，极小值点为，故当时，有两个极值点，综上，的取值范围为.17．（1），又依次成等差数列，所以，即，解得.（2）证明：因为，且，所以是首项为1，公比为2的等比数列，可得，则，.18．（1）方法一：由可得，，即，即.如图：当时，在中，，，，因为，所以，又，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.又在平行四边形中，，，为中点，所以，，平面，所以平面.又平面，所以.方法二：（向量方法）因为平面平面，平面平面，所以过作于，则平面；连接，因为，所以.在中，，，.所以，则，.，当时，..所以.（2）如图，由（1）得：两两垂直，故可以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系.平面中，，.，设平面的法向量为：，则,令，则；平面中，由（1）可知，，设，因为，，所以.，设平面的法向量为，则,令，则；由题意，设平面与平面所成角为，且，则.，解得.即平面与平面所成角的正切值为时，的值为.19．（1）为的垂直平分线上一点，则..点的轨迹为以为焦点的双曲线，且故点的轨迹方程为.（2）（i）设，双曲线的渐近线方程为①，②当直线的斜率存在时，设过点且与相切的直线的方程为，与双曲线联立由，且，故可得.由；..点为线段的中点.当直线的斜率不存在时，直线的方程是，根据双曲线的对称性可知，此时直线即是双曲线的切线，同时满足点为线段的中点.综上，点为线段的中点.（ii）由（i）知，..当且仅当，即时取等号.又，的取值范围为.