湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高二下学期2月月考数学试题（含答案）

湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高二下学期2月月考数学试卷一、单选题1．已知函数在上可导，若，则（    ）A．9 B．12 C．6 D．32．中国古代五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙2名同学各自选两种书作为兴趣研读，则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法（    ）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种3．已知数列满足，且，，则（    ）A． B． C． D．4．已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．5．小甘同学计划在2024年高考后前往西南大学，北京师范大学，陕西师范大学，华东师范大学，华中师范大学，东北师范大学6所部属公费师范大学中随机选两所去参观，则西南大学恰好被选中的概率为（    ）A． B． C． D．6．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序相邻，那么不同的发言顺序有（    ）A．168种 B．240种 C．264种 D．336种7．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．8．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）A． B． C． D．二、多选题9．四位小伙伴在玩一个“幸运大挑战”小游戏，有一枚幸运星在他们四个人之间随机进行传递，游戏规定：每个人得到幸运星之后随机传递给另外三个人中的任意一个人，这样就完成了一次传递．若游戏开始时幸运星在甲手上，记完成次传递后幸运星仍在甲手上的所有可能传递方案种数为，则（    ）A． B． C． D．10．已知直线过点，则下列说法中正确的是（    ）A．若直线的斜率为2，则的方程为B．若直线在轴上的截距为2，则的方程为C．若直线的一个方向向量为，则的方程为D．若直线与直线平行，则的方程为11．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（    ）A． B．C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形三、填空题12．若，则.13．双曲线的右顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称，若直线，的斜率之积为，则C的离心率为.14．已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．则a的取值范围为．（结果用区间表示）四、解答题15．在正项等比数列中，，．(1)求的通项公式；(2)若数列满足：，求数列的最大项．16．如图，三棱柱中，侧棱底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，的中点．(1)证明平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．17．椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点．M是椭圆上任意一点，且．(1)求椭圆的标准方程及离心率；(2)过点的斜率为的直线交椭圆于两点．求的面积．18．设函数.(1)若是的极值点，求a的值，并求的单调区间；(2)讨论的单调性；(3)若，求的取值范围.19．对于函数，我们无法直接求出它的零点，数学家牛顿用设切线的方法解决了这个问题.设函数的零点为，如果可以找到一步步逼近的，，，，，使得当时，，则可把看做函数的近似解，这个方法被称为“牛顿法”.具体步骤为：选取合适的，在横坐标为的点作的切线，切线与轴的交点的横坐标即，再用代替，重复上面的过程得到，如此循环计算出.我们知道在处的切线的斜率为，由此写出切线方程，因为，所以令得切线与轴交点的横坐标，同理得，，以此类推，可以得到.(1)对于函数，当时，求，的值；(2)已知函数的定义域R.①对于函数，若为公差不为零的等差数列，求证：无零点；②当时，运用“牛顿法”证明：参考答案题号12345678910答案BBACCCCBBDBCD题号11答案BC11．BC12．1或202313．14．15．(1)(2)16．【详解】（1）在三棱柱中，连接，由分别为的中点，得且，而且，又为的中点，则且，于是且，因此四边形是平行四边形，则，而平面，平面，所以平面.（2）在三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，令，取中点，连接，而为中点，则，有底面，由正，得，显然直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，令，得，令直线与平面所成的角为，于是，所以直线与平面所成角的正弦值.17．(1)；离心率为；(2)【详解】（1）由已知，，又因为，，所以，所以，，，椭圆的标准方程为，离心率为；（2）直线的方程为，设，由得，，，．到直线的距离为，所以．18．【详解】（1），，解得，此时，令，有或，令，有，所以是的极值点，满足题意，所以的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）由（1）知，当即时，恒成立，所以在上单调递增；当即时，由得或，由得，故的单调递增区间为和，单调递减区间为；当即时，由得或，由得，故的单调递增区间为和，单调递减区间为；当即时，由得，得，故的单调递增区间为，单调递减区间为.综上，当时，在上单调递增，无递减区间，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）由题意当时，令，有，令，有，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即当时，不成立.综上，.19．【详解】（1），故，；（2）①因为，而为公差不为0的等差数列，所以为非零常数.设.可得.并且.所以.用此类推，得，因为为常数，所以当时，，即:当时，，即.所以不存在，即无零点.②，所以.对于函数，即，因为，所以，以此类推，得，令，由等比数列求和公式得，因此.时，，即，所以.