湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷(学生版)

雅礼教育集团2025年上学期3月考试试卷高二数学时量:120分钟 分值:150分一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、设集合,下列结论中正确的是()A. B. C. D.2、已知函数的图像关于点对称,则()A. B. C. D.3、复数满足,则的虚部为()A.-2025 B. C.2 D.4、边长为1的正三角形中,的值为()A.1 B.2 C. D.、已知,则曲线在点处的切线方程为() B.C. D.6、如图,三棱柱中,,分别是、的中点,平面将三棱柱分成体积为(左为,右为)两部分,则()A. B. C. D.★7、如图1所示,双曲线具有光学性质;从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为,从发出的光线经过图2中的两点反射后,分别经过点和,且,则的离心率为()图1图2A. B. C. D.8、已知函数的定义域为是的导数,且,若为偶函数,则()A.80 B.75 C.70 D.65二、多项选择题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。、已知抛物线的焦点到准线的距离是4,直线过它的焦点且与交于,两点,为弦的中点,则下列说法正确的是()A.抛物线的焦点坐标是(2,0)B.C.若,则D.若以为圆心的圆与的准线相切,则是该圆的一条直径10、一个不透明的口袋中有8个大小相同的球,其中红球4个,白球1个,黑球3个,则下列选项正确的有()A.从该口袋中任取3个球,设取出的红球个数为,则数学期望B.每次从该口袋中任取一个球,记录下颜色后放回口袋,先后取了3次,设取出的黑球次数为,则C.从该口袋中任取3个球,设取出的球的颜色有种,则数学期望D.每次从该口袋中任取一个球,不放回,拿出红球即停,设拿出的黑球的个数为,则数学期望11、高斯被誉为“数学王子”,是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数表示不超过的最大整数)称为高斯函数.已知正项数列的前项和为,且,令,则下列结论正确的有()A. B.C. D.三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.★12、已知,若,则_____★13、2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研,每个村各有一组来调研,每个组至多3名学生,则不同的安排方法种数为_____★14、已知不等式在区间上恒成立,则实数的取值范围是_____四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、(本小题13分)如图,四棱锥的底面是矩形,是等边三角形,平面平面分别是的中点,与交于点.(1)求证:平面；(2)平面与直线交于点,求直线与平面所成角的大小.16、(本小题15分)已知分别是角的对边,的面积.(1)证明:;(2)若为的平分线,交于点,且,,求的长.17、(本小题15分)南澳县是广东唯一的海岛县,海区面积广阔,发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势,所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品,产量高、肉质肥、营养好,素有“海洋牛奶精品”的美誉.根据养殖规模与以往的养殖经验,产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量(克)在正常环境下服从正态分布.(1)购买10只该基地的“南澳牡蛎”,会买到质量小于20的牡蛎的可能性有多大？(2)2019年该基地考虑增加人工投入,现有以往的人工投入增量(人)与年收益增量(万元)的数据如下:人工投入增量(人)234681013年收益增量(万元)13223142505658该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量,建立了与的两个回归模型:模型①:由最小二乘公式可求得与的线性回归方程:;模型②:由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线:的附近,令(i)根据所给的统计量,求模型②中关于的回归方程(精确到0.1)；(ii)根据下列表格中的数据,比较两种模型的决定系数,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测人工投入增量为16人时的年收益增量.回归模型模型①模型②回归方程   182.479.2附:若随机变量,则决定系数.、(本小题17分)已知椭圆,定义椭圆上的点的“伴随点”为.(1)求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程;(2)如果椭圆上的点的“伴随点”为,对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”,求的取值范围;(3)当时,直线交椭圆于两点,若点的“伴随点”分别是,且以为直径的圆经过坐标原点,求的面积.19、(本小题17分)定义:如果函数在定义域内,存在极大值和极小值,且存在一个常数,使成立,则称函数为极值可差比函数,常数称为该函数的极值差比系数.已知函数.(1)当时,求极值差比系数的值；(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由；(3)若,求的极值差比系数的取值范围.