广东省茂名市七校联盟2024-2025学年高一下学期2月联考数学试题 Word版含解析

2024—2025学年度茂名市七校联盟高一联考数学试题本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二次不等式的解法求得，利用具体函数的定义求得，再利用集合的运算，即可求解.【详解】由，得到，所以，又，得到，所以，得到，故选：A.2.命题：“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可得到答案.【详解】根据特称命题的否定为全称命题知：“”的否定是“”.故选：B.3.函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断函数的单调性，求，，，，结合零点存在性定理确定零点所在的区间.【详解】因为函数和函数在上都单调递增，所以函数为增函数，又，，，，由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间是.故选：C4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用正切的差角公式，求得，再利用正切的倍角公式，即可求解.【详解】因为，解得，所以，故选：B.5.已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（）A.先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变B.先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变C.先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变D.先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【解析】【分析】直接求出函数的周期T，利用周期公式可求，得到函数的解析式，利用图象平移的规律：左加右减，图象伸缩变换的规律即可得解．【详解】由题意可知，所以，所以可将的图象上所有的点先向右平移个单位长度得到，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到的图象，即的图象，故选：A6.已知，且，则（）A. B. C. D.12【答案】B【解析】【分析】根据指对互化，结合换底公式，即可求解.【详解】由可得，由，故，故，由于，故，故选；B7.设，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】找中间值，得到，，，即可求得结果.【详解】因为，故；因为，故；因为，故；故故选：D8.已知，函数在上单调，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件，利用的性质，利用整体代入法分别求出的单调递增和单调递减区间，然后分函数在上单调递增和递减两种情况讨论，可得和且，即可求出结果.【详解】若函数在上单调递增，由，得，所以，又，取，得，若函数在上单调递减，由，得，所以，又，取，得，所以的取值范围是，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题为真命题的是（）A.是的必要不充分条件B.若，则的最小值为C.若，则D.若幂函数图象经过点，则函数的图象恒过定点【答案】ABD【解析】【分析】选项A利用充要条件的推导关系判断；选项B利用正切的和差公式和均值不等式判断；选项C注意正负和取；选项D考查了幂函数求参数，以及对数函数的定点问题；【详解】选项A：能推出，反之可以推出或，所以是的必要不充分条件，故A正确；选项B：由可得，，所以，当且仅当时,等号成立，故B正确；选项C：当或或时，不成立，故C错误；选项D：经过点，代入，则，恒过定点，所以恒过定点，故D正确；故选：ABD.10已知，则（）A.的最小正周期是 B.的图象关于对称C.的值域为 D.在上单调递增【答案】BCD【解析】【分析】利用函数的对称性与周期性结合诱导公式可判定A、B，再根据A、B结论及三角函数的图象与性质可判定C、D.【详解】对于A，根据诱导公式可知：，所以也是的周期，故A错；对于B，根据诱导公式可知：，所以的图象关于对称，故B对；当时，，又在在上都单调递增，所以在上单调递增，故C对；如图由，所以是偶函数，所以在上单调递减，在上单调递增，的最小正周期是，所以时，，所以，又的最小正周期是，所以是一个周期，所以的值域为故D对；故选：BCD11.定义在上的函数，且，则（）A.是偶函数B.的图象关于点对称C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用赋值法，根据奇偶性的定义判断A；举出反例判断B；求解判断C，D.【详解】令，得，令，得，又，所以，所以是偶函数，故A对；令，令，得，，所以的图象不关于点对称，故B错，C对；令，得，令，令，同理可得，所以，故D对；故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则____________．【答案】【解析】【分析】由分段函数解析式，由内向外求解即可；【详解】，所以，故答案为：13.不等式对一切实数都成立，则实数取值范围________【答案】【解析】【分析】对不等式的二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的性质进行求解即可.【详解】当时，原不等式变为，显然对一切实数都成立；当时，要想不等式对一切实数都成立，则满足：且，解得综上所述：实数的取值范围是.故答案为：14.已知实数满足，则的取值范围是_____________．【答案】【解析】【分析】由条件得到，再由三角函数换元求解即可；【详解】由，可得：，设，可得：，所以，因为，所以，所以的取值范围是；故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤15.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点．（1）求和的值；（2）求的值．【答案】（1）2，（2）1【解析】【分析】（1）由三角函数的定义和正弦二倍角公式即可求解；（2）由诱导公式及同角商的关系即可求解；【小问1详解】因为角的终边经过点．由三角函数定义知，．∴．∴．【小问2详解】由诱导公式得16.已知函数．（1）若的解集为，求实数的值；（2）若在上具有单调性，求实数的取值范围；（3）当时，对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）．【解析】【分析】（1）根据的解集得到方程的两根，然后利用韦达定理计算；（2）根据二次函数的单调性列不等式，解不等式即可；（3）将恒成立转化为恒成立，然后利用单调性的定义判断单调性求最值即可.【小问1详解】∵的解集为．∴是方程的两根．∴，．小问2详解】的对称轴方程为．∵在上具有单调性．∴，∴或．∴实数的取值范围为．【小问3详解】，∴，设，任取，且．当时，，∴，当时，，∴．∴在上单调递减，在上单调递增，且．所以当时，，所以，即取值范围为．17.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若，求的最小值；（3）若方程有四个不等实根，求实数的取值范围．【答案】（1）增区间为，减区间为（2）（3）【解析】【分析】（1）根据的单调性，结合函数图象即可求解；（2）根据对数的运算可得，即可利用基本不等式求解；（3）利用换元法，将问题转化为，有两个正的实数根，即可由一元二次方程根的分布求解.【小问1详解】，由于在上单调递增，所以的增区间为，减区间为；【小问2详解】由（1）知在上单调递减，在上单调递增，，即，∴，∴，∴，，当且仅当，即时取等号，∴的最小值为．【小问3详解】有四个不等实根，即有四个不等实根，设，得，只需方程有两个不等正实根，，解得，∴的取值范围为．18.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）若，求的值；（3）若的图象与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，求的取值范围．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】1）利用倍角公式及正弦的和角公式得到，把看成一整体，利用的性质，得，即可求解；（2）根据条件，利用平方关系求出，再通过构角，利用正弦的差角公式，即可求解；（3）利用（1）结果得到在区间上的单调性，进而得出图象，再数形结合，即可求解.【小问1详解】因为，由，得到，所以的单调递增区间为，．【小问2详解】由（1）知，则，又，所以，又，所以，则，又，．【小问3详解】当时，由（1）知在区间和上单调递增，在区间上单调递减，且，则在区间上的图象如图所示，又直线与的图象有三个交点．则，不妨设三个交点为，且，则，又易知，所以，所以的取值范围为．19.在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数，是自然对数的底数（…）（1）解方程；（2）求不等式的解集；（3）对于任意，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）．【解析】【分析】（1）解指数方程即可；（2）说明函数的奇偶性和单调性，再解不等式；（3）分别求出的,最值，构造不等式即可求解．【小问1详解】即，，设得，∴解得或（舍去），∴，∴．【小问2详解】∵，∴为偶函数，任取，，∵，∴，，∴，∴即在上单调递增，又是偶函数，∴在上单调递减，即，∴即，解得，∴不等式的集体为．【小问3详解】，只需，设，由的单调性可知在上单调递减，∴，（当时取等号），∴即．∴的取值范围为．