河北省保定市部分高中2024-2025学年高二下学期开学考试 数学 Word版含解析

河北省保定市部分高中2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知直线经过点，，则的斜率为（   ）A． B．2 C． D．2．双曲线的离心率为（   ）A． B．3 C． D．3．若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ）A．，， B．，，C．，， D．，，4．已知数列满足，设的前项和为，则（   ）A．0 B．1 C． D．20255．已知椭圆的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（   ）A．6 B．16 C． D．126．已知数列满足，且，则（   ）A． B． C． D．7．如图，在直三棱柱中，，，，E是的中点，则直线AB与平面所成角的正弦值为（   ）  A． B． C． D．8．已知数列满足，，设的前项和为，若，，成等差数列，则（   ）A．10 B．11 C．12 D．13二、多选题9．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（   ）A． B．与夹角的余弦值为C．在上的投影向量为 D．点到直线BC的距离为10．在数列中，若对任意连续三项，，，均有，，则称该数列为“跳跃数列”．已知等比数列是“跳跃数列”，则公比的取值可能是（   ）A． B． C． D．11．已知A，B，C是抛物线上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为，则（   ）A．当时，的最大值为32B．当时，的最小值为22C．当时，直线AB的斜率为D．当A，F，B三点共线时，点P到直线l的距离的最小值为14三、填空题12．在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则．13．已知等差数列的前项和为，若，则.14．“将军饮马”问题源自唐代诗人李顾的诗作《古从军行》，其中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后，从山脚下的某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为，在河边饮马点的坐标为．四、解答题15．已知定点，定直线，曲线上有一动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．(1)求曲线的方程；(2)若点在轴的右侧，，求周长的最小值．16．在等差数列中，，且．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．17．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，是PD的中点．(1)证明：平面．(2)证明：平面．(3)求平面与平面夹角的余弦值．18．已知数列的前项和为，满足；是以为首项，且公差不为0的等差数列，，，成等比数列．(1)求，的通项公式；(2)令，求数列的前项和．19．已知椭圆的短轴长为，且离心率为.(1)求C的方程.(2)过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点.①证明：为定值.②求面积的取值范围.题号12345678910答案CADBDCDBABDAC题号11答案ACD1．C【详解】解：直线的斜率．故选：C2．A【详解】因为，，所以，故离心率为．故选：A.3．D【详解】因为，所以，，共面；因为，所以，，共面；因为，所以，，共面；因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底．故选：D.4．B【详解】由正弦函数周期公式可知是周期为4的周期数列，且，，，，得：，所以．故选：B5．D【详解】因为，，所以，故的周长为．故选：D.6．C【详解】因为，所以．因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，所以，故．故选：C7．D【详解】由题意知CA，CB，两两垂直，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量为，因为，，所以令，得，因为，所以，故直线AB与平面所成角的正弦值为．  故选：D.8．B【详解】因为，且，所以当时，，因为也满足，所以，因为，所以，若，，成等差数列，则，即，得.故选：B.9．ABD【详解】因为，，所以，故A正确；因为，，所以，故B正确；因为，，所以在上的投影向量为，故C错误；因为，所以的一个单位方向向量为，因为，所以点到直线BC的距离为，故D正确．故选：ABD.10．AC【详解】因为等比数列是“跳跃数列”，由已知，，则，得，所以A，C正确．故选：AC.11．ACD【详解】抛物线的焦点，准线，设，对于A，，当且仅当A，F，B三点共线时，有最大值32，A正确；对于B，如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为，设交抛物线于点，因，故，由图知当且仅当三点共线时取得最小值为长，因的中点为，则为梯形的中位线，且，，即的最小值为15，B错误；对于C，由，得，当时，，直线AB的斜率为，C正确；对于D，设直线的方程为，由消去得，则，则点P到直线l的距离，因此当时，点P到直线l的距离的最小值为14，D正确.故选：ACD12．【详解】因为，所以，．故答案为：-1213．12【详解】设，则，因为也成等差数列，所以，即，即，所以.故答案为：12.14．【详解】设点关于直线对称的点为，则,解得，故最短路径为．记圆的圆心为，则直线BC的方程为，联立，解得，即饮马点的坐标为．故答案为：；.15．(1)(2)【详解】（1）设．因为，所以，整理得，即曲线的方程为；（2）设曲线的左焦点为，则．因为点在双曲线的右支上，所以，所以．因为，所以的周长为．当Ｑ，Ｐ，三点共线时，取得最小值，所以周长的最小值为．16．(1)(2)【详解】（1）设的公差为．因为，所以．因为，所以，解得，故．（2）设的前项和为，则．当时，；当时，．故.17．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【详解】（1）连接BD，交AC于点O，连接OM．因为底面是矩形，所以O为AC，BD的中点．因为M是PD的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）因为平面，所以．因为，平面，所以平面．因为平面，所以．因为，M是PD的中点，所以．因为平面，所以平面．（3）以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．由（2）知平面的一个法向量为．设平面的法向量为，因为，，所以令，得．设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．18．(1)，；(2).【详解】（1）因为，所以当时，，所以．当时，，两式相减可得，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以.设等差数列的公差为，因为，所以，，，因为，，成等比数列，所以，解得（舍去）或，所以.（2）因为，所以，，两式相减得，所以.19．(1)；(2)①证明见解析；②.【详解】（1）由已知得，因为，又由，可解得，所以椭圆方程为：.（2）①设斜率不为0的直线的方程为，联立直线和椭圆方程可得，化简得，由于椭圆与直线交于两点，，因此，所以或，根据韦达定理可得，，又因为，，因此，令的方程为，椭圆与直线交于两点，联立直线和椭圆方程，化简得，同理：，，，因此（为定值）．②由于，又由于，因此，化简可得，设，由于，因此，因此，又由于当时，，因此，因此，所以面积的取值范围为．