湖北省随州市部分高中2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题 Word版含解析

湖北省随州市部分高中2024--2025学年下学期三月联考高一数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟．★祝考试顺利★考试范围：必修一；必修二第6、7章注意事项：1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置．2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4、考试结束后，请将答题卡上交．一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①⫋；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（）A.2 B.4C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】先求出，再结合“保均值真子集”的概念列举集合的“保均值真子集”即可得到答案.【详解】因为集合，则，所以集合的“保均值真子集”有：,,,,,，共6个．故选：C2.已知，则是的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出命题，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】因为；，所以，推不出，所以是的必要不充分条件.故选：B.3.已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（）A.116 B.115 C.114 D.113【答案】C【解析】【分析】由可得函数的周期为，再结合为偶函数，可得也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.【详解】由，得，即，所以，所以函数的周期为，又为偶函数，则，所以，所以函数也为偶函数，又，所以，，所以，又，即，所以，又，，，所以故选：.4.如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在点与点之间(包含端点)，则下列结论正确的是（）A.当时， B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意和图象，判断二次函数的图象开口，对称轴和特殊点，字母范围，逐项判断各选项即可.【详解】由题意结合图象，可知，图象对称轴为，，.对于A，由上分析，函数图象与x轴的另一交点为，即点，故时，，故A正确；对于B，由图知，当时，，故B错误；对于C，由可得，又，代入解得，因，故，即C错误；对于D，由可得，又，所以，故D错误.故选：A．5.已知，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知角的余弦值及所在象限求其正弦值，进而可求【详解】由，，知：∴故选：A【点睛】本题考查了利用同角三角函数关系求正切值，根据角的余弦值及所在象限求正弦值，由同角正切与正余弦关系求正切值6.函数的单调减区间是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.根据正弦函数的单调性即可求出答案.【详解】，要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.令，所以.故选：A.7.若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据数量积公式即可得出．【详解】即,故选C选项【点睛】解决本题的关键在于向量的数量积公式和向量的模长的运用．8.复数的虚部为（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】先化简，再根据虚部概念得解.【详解】.故虚部为1.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设是正整数，且，则下列各式正确是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用分数指数幂和根式的互化以及运算律即可逐项判断.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，因是正整数，且，则，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BCD.10.已知函数满足恒成立，且在上单调递增，则下列说法中正确的是（）A.B.为偶函数C.若，则D.将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，可以得到的图象【答案】AB【解析】【分析】令，，求出的取值，再由的取值范围求出的取值范围，根据函数的单调性得到，从而求出的值，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】解：因为函数满足恒成立，所以，，解得，，当时，，因为函数在上单调递增，所以，解得，综上可得，故A正确；所以，则，所以为偶函数，故B正确；对于C：当时，，所以，即，故C错误；对于D：将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，可以得到的图象，故D错误；故选：AB11.已知向量满足，，且，则（）A. B.C.与的夹角为 D.与的夹角为【答案】AC【解析】【分析】对两边平方可判断A；计算出可判断B；利用求出可判断CD．【详解】对于A，因为，，且，所以，则，则，故A正确；对于B，因为，所以与不垂直，故B错误；对于C，，又，所以与的夹角为，故C正确D错误．故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分12.已知函数满足，，与有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为__________．【答案】4【解析】【分析】确定两个函数图象都关系对称，即可求解；【详解】因为，所以的图象关于点对称，又满足也关于点对称，则交点关于对称，所以4个交点的纵坐标之和．故答案为：413.将函数，图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则________.【答案】【解析】【分析】根据函数的图象变换规律，求得的解析式，可得的值．【详解】解：将函数，图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得的图象，再向右平移个单位长度得到的图象，，且，，解得，，函数，，故答案为：【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．14.如图在平行四边形中，已知，，，，则的值是______________.【答案】22【解析】【分析】根据基底表示再根据向量数量积化简，即得结果.【详解】【点睛】用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．四、解答题：本题共5小题，共75分15.已知二次函数．（1）若在区间上是减函数，求a的取值范围．（2）若，设函数在区间的最小值为，求的表达式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分和两种情况讨论，结合而二次函数性质分析求解；（2）分、和三种情况，结合二次函数性质分析求解.【小问1详解】由题意可知：，且二次函数的对称轴为，若，则，解得；若，则，符合题意；综上所述：a的取值范围.【小问2详解】因为，则开口向上，且的对称轴为，若，即时，则在区间上单调递增，可得；若，即时，则在区间上单调递减，可得；若，即时，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，可得；综上所述：.16.已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为.（1）若，，求扇形的弧长.（2）若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？（3）若，求扇形的弧所在的弓形的面积.【答案】（1）（2）时，面积最大（3）cm2.【解析】【分析】（1）直接利用弧长公式即可；（2）由扇形的周长得，表示出扇形的面积，求最值即可；（3）弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积.【小问1详解】由，则扇形的弧长(cm).【小问2详解】由已知得，，则，∴当且仅当，即时扇形的面积最大，此时圆心角.【小问3详解】设弓形面积为，由，得，所以.17设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得，则，所以该函数的最小正周期;（2）由题意，，由可得，所以当即时，函数取最大值.18.设，是两个不共线的向量，已知，，．（1）求证：，，三点共线；（2）若，且，求实数的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先根据向量的线性运算，求得，再判断与的关系，即可证明.（2）根据向量平行的结论，求参数的值.【小问1详解】由已知，得．因为，所以.又与有公共点，所以，，三点共线．【小问2详解】由（1），知，若，且，可设（），所以，即．又，是两个不共线的向量，所以，解得．19.已知内角所对的边长分别为.（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得，结合三角形内角性质求角的大小；（2）法一：由已知可得，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得即可得范围；法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围.【小问1详解】由余弦定理得，即，所以，又，则.【小问2详解】法一：为锐角三角形，，则，所以，可得，又，则，故由，即而，所以，故面积的取值范围为.法二：由，画出如图所示三角形，为锐角三角形，点落在线段（端点除外）上，当时，，当时，，.