湖南省长沙市望城区第一中学2025届高三一模试题数学答案

《2025届高三一模》参考答案题号12345678910答案CCCCADDCBDACD题号1112答案BCDACD1．C【难度】0.65【知识点】平面向量共线定理的推论【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值.【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则，即，所以，，又因为，，则，因为、、三点共线，设，则，所以，，且、不共线，所以，，，故，因此，.故选：C.2．C【难度】0.4【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算【分析】根据的定义进行分析，由此列不等式来求得的取值范围，进而求得正确答案.【详解】因为，所以该式的前15项都为0，后4项都为1，所以，所以，即，得，因为，所以，所以，故.故选：C.【点睛】思路点睛：首先根据和式的结果分析每一项的取值情况，列出关于变量的不等式，然后解不等式得到变量的取值范围，若取值范围涉及到指数形式，通过计算近似值进一步精确范围，最后根据变量的取值范围求出所求式子的值.3．C【难度】0.85【知识点】判断两个集合的包含关系、求指数型复合函数的值域、求对数型复合函数的定义域【分析】分别求函数的值域和函数的定义域，即得集合，从而可确定选项.【详解】由，，可得，则，故，又由有意义，可得，即得，故，则显然有.故选：C.4．C【难度】0.65【知识点】判断数列的增减性、由递推数列研究数列的有关性质【分析】由值不定即可判断A；由题设求出和即可判断B；由求出即可求出判断C；由和即可判断D.【详解】对于A，当时，，当且仅当即时等号成立，所以，但值不定，所以若，则所有项不一定恒大于等于，故A错误；对于B，若时，，，而，故B错；对于C，若是常数列，则，即，所以，故C正确；对于D，由题，因为，所以由递推关系可知，且，，所以，.故D错误.故选：C.5．A【难度】0.65【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题【分析】首先根据侧面展开图面积等于半圆面积，求得底面半径与母线长，再利用勾股定理算得圆锥高.【详解】设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为r，因为圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则，解得，则该圆锥的高为.故选：A.6．D【难度】0.15【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题【分析】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直径作截面，设两圆的半径，则，，其中，表达出，，求导得到函数单调性，得到最值，并求出，令，函数在上单调递增，求出，得到答案.【详解】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，上面的球与圆锥的底面相切，过底面圆的直径作截面，如图所示，过点O作OF⊥AB，垂足为F，过点作⊥AB，垂足为E，过点作⊥OF，垂足为D．设圆O的半径为R，圆的半径为r，当下面的球与上底面相切时，取得最大值，此时为该圆的内切球半径，等边三角形的边长为，内切球半径为，故，故R的最大值为，且取最大值时，三点共线，设，则，则，解得，所以，，，，.因为，所以①，整理得，解得，令函数，，.令函数，，所以是增函数.又因为，，所以，，所以，，，，即，，，，所以在上单调递减，在上单调递增.因为，所以，即这两个球体的半径之和的最大值为.由①可得，这两个球体的表面积之和为.令，函数在上单调递增，所以，即这两个球体的表面积之和的最大值为.故选：D．【点睛】方法点睛：立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.7．D【难度】0.65【知识点】球的截面的性质及计算【分析】由题意分析出P在半球面形成的轨迹为圆周，再由三点共线及勾股定理解出，最后按照圆的周长求得即可.【详解】由于，因此P在半球面形成的轨迹为圆周，如图：记圆柱上顶面圆心为M，点P的轨迹所在圆的圆心为N，则A，M，N共线，，设，，在和中使用勾股定理有，解得，于是点P的轨迹的长度.故选:D.8．C【难度】0.85【知识点】由对数函数的单调性解不等式、交集的概念及运算【分析】解对数不等式得集合，然后由交集定义计算．【详解】由已知，所以．故选：C．9．BD【难度】0.65【知识点】利用导数证明不等式、比较正弦值的大小【分析】利用特殊角的函数可以估算并判断AC选项，利用泰勒展开式可以计算并估计B选项，利用导数可以来证明并判断D选项.【详解】由，，则有，故A选项错误．由，则，又（精确到小数点后两位），故B选项正确．，，则有，故C选项错误．当时，令，则，，所以在上为增函数，则，所以在上为增函数，则，故当时，恒成立，即．故D选项正确．故选：BD.10．ACD【难度】0.65【知识点】求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数奇偶性的定义与判断、判断命题的充分不必要条件【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；结合导数和函数的单调性间的关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；利用导数求得函数的单调性，进而求得的极小值，可判定C正确；结合二次函数的性质，结合，列出不等式，可判定D正确．【详解】对于A中，当时，函数，则满足，所以为奇函数，所以充分性成立；若为奇函数，则，则恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正确；对于B中，当时，，可得，所以为增函数；由，当为增函数时，，所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，所以B错误；对于C中，由，若不等式的解集为且，则在上先增后减再增，则，解得，故，可得，令，解得或，当内，，单调递增；当内，，单调递减；当内，，单调递增，所以的极小值为，所以C正确．对于D中，由，因为是方程的两个不同的根，所以，即，且，由，可得，所以，即，联立方程组，可得，解得或，所以D正确．故选：ACD．11．BCD【难度】0.65【知识点】求投影向量、双曲线定义的理解、向量的线性运算的几何应用、向量加法法则的几何应用【分析】建立直角坐标系，根据双曲线的定义，结合三角形内心的向量表达式、切线长定理、投影向量的定义进行求解即可.【详解】建立如图所示的直角坐标系，由，可设，，  所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支（不含右顶点），故A错误；因为是的角平分线，且，所以，又表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，则在的角平分线上，所以也为的角平分线，为的内心，故B正确；如图，设，则，，则由双曲线与内切圆的性质可得，，故C正确；又，所以，在上的投影长为，所以在上的投影向量为，故D正确.故选：BCD12．ACD【难度】0.65【知识点】根据韦达定理求参数、直线与抛物线交点相关问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、求直线与抛物线相交所得弦的弦长【分析】对于A，B，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及焦半径公式解方程即可；对于C，利用导数的几何意义求出，直线垂直即可判断；对于D，利用韦达定理以及焦半径公式求出，即，由直线与直线垂直得即可.【详解】对于A，由已知设过点的直线方程为，联立方程，消去得，可得，又因为，所以，则，解得（定值），A正确;所以抛物线方程为，准线方程为，B错误;对于C，抛物线，即，则  ，所以，故直线垂直，所以点在以为直径的圆上，C正确;对于D，因为，解得，因为直线垂直于直线，直线的方程为所以，则，D正确.故选：ACD.13．【难度】0.65【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题【分析】分析找到满足题意的项，化简即可得到结果．【详解】根据题意，展开式中的项为则的系数为：故答案为：.14．1【难度】0.85【知识点】求图象变化前（后）的解析式、特殊角的三角函数值【分析】先根据向左平移得出的解析式，再求函数值即可.【详解】由已知得，所以.故答案为：1.15．【难度】0.85【知识点】已知向量垂直求参数、利用向量垂直求参数、数量积的坐标表示、垂直关系的向量表示【分析】由向量的垂直关系列方程求解即可.【详解】由得，即，由向量的坐标，得，解得.故答案为：.16．54/【难度】0.65【知识点】计算条件概率、分组分配问题【分析】利用分组分配的方法，计算求值；利用样本空间的方法，求条件概率.【详解】由题意可得三个学年修完四门选修课程，每学年至多选2门，则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2．先将4门选修课程按1，1，2分成三组，有种方式，再分到三个学年，有种不同方式，由分步计数原理得，不同的选修方式共有种．同理，将4门选修课程按0，2，2分成三组，再排列，有种，所以共有种不同的选修方式；若将“某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程”记为事件A，将“高二学年结束后就修完所有选修课程”记为事件B．根据题意，满足事件A的所有选课情况共4种情况，其中包含高二选修完或高三选修完其他2门，或是高二，高三各选1门，共4种情况，其中同时满足事件B的仅有1种情况．根据条件概率公式，可知所求概率为．故答案为：54；17．(1)(2)直线EG过定点.(3).【难度】0.65【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据双曲线的渐近线求标准方程【分析】（1）设出方程带入点，得到方程.（2）当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程再进行联立，再易知，直线EG的斜率存在，设直线EG的方程为，最后得到过定点.（3）考虑子圆，两圆的圆心之间的距离，最后得到答案.【详解】（1）设双曲线的方程为，将点代入得，即，双曲线的方程为（2）当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程为，，，.由消去整理得，依题意得：，且，即且，，.易知，直线EG的斜率存在，设直线EG的方程为.令，得.直线EG过定点.当直线DG的斜率为0时，直线EG的方程为，过点，综上，直线EG过定点.（3）考虑以为圆心的“子圆”，由的方程与的方程消去，得关于的二次方程.依题意，该方程的判别式，.对于外切于点的两个“子圆”，，显然点在轴上，设，，的半径分别为，，不妨设，的圆心分别为，.则，.两式相减得：，而，.，整理得：.，点.，故.18．(1)(2)证明见解析(3)【难度】0.4【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、已知切线（斜率）求参数【分析】（1）先求导函数再应用切线斜率为1，计算求参；（2）先把证明的不等式转换，再构造函数，根据函数单调性计算证明不等式；（3）分两种情况分类讨论是否符合不等式恒成立即可求参.【详解】（1）设，则，，若与相切，设切点为，则，又，则，从而，即，即.（2）设，则，当时，，依题意，当时，要证，即证，当时，即证.设，，则，当时，，单调递增，则当时，，即，从而，当时，，即，从而，综上可知，当时，.（3）不等式即，令，令，，，由，不妨设，，其中，，.（ⅰ）当时，由（2）可知单调递增，故，则，即单调递增，符合题意；（ⅱ）当时，由，令，则，①当时，，则恒成立，故单调递减，即，即，故单调递增，从而，符合题意；②当时，，故有两个根，因此当时，，单调递增，则，即，故在区间上单调递减，从而，不合题意.综上可知，或，即.【点睛】关键点点睛:解题的关键点是构造，结合导函数判断函数单调性，分两种情况分别证明不等式即可19．(1)(2)存在“长向量”，且“长向量”为、，理由见解析；(3)【难度】0.15【知识点】向量新定义、向量模的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、求含sinx(型)函数的值域和最值【分析】（1）得到，从而得到不等式，求出答案；（2），若存在“长向量”，只需使，又，故，即，当或6时，符合要求，得到结论；（3）由题意得，同理，，三式相加并化简，得，设，由得，设，由对称得到方程组，求出，其中，故．【详解】（1）由题意可得：，即，又，故，故，解得；（2）存在“长向量”，且“长向量”为、，理由如下：由题意可得，若存在“长向量