2025年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）数学答案

参考答案题号１２３４５６７８答案ＣＡＤＡＢＤＢＣ题号９１０１１答案ＡＣＢＣＤＡＣＤ８１２．－５ １３．３５ １４．槡１７１２＋ｉ２＋ｉ２１１１．【详解答案】ｚ＝＝＝＝＋ｉ，虚部为，故选Ｃ．２－ｉ（２－ｉ）（２＋ｉ）５５５５２．【详解答案】ｘ２－２ｘ＞０等价于ｘ＜０或ｘ＞２，因此“ｘ＞２”“ｘ２－２ｘ＞０”，故选Ａ．３．【详解答案】令ｘ－１＝ｔ∈Ｒ，则ｘ＝ｔ＋１，所以ｆ（ｔ）＝ｅｔ＋１，即ｆ（ｘ）＝ｅ３．故选Ｄ．４０频率４．【详解答案】由题意成绩在区间［９２．５，１０２．５］内学生的频率为＝０．２，因此＝０．０２，故２００组距选Ａ．５．【详解答案】圆台的侧面积＝大圆锥的侧面积－小圆锥的侧面积，π×４×４槡２－π×３×３槡２＝７槡２π，故选Ｂ．３３３２２２３６．【详解答案】ｘ的系数是１×Ｃ５（２ｘ）×１＋（－ｘ）×Ｃ５（２ｘ）×１＝８０－４０＝４０，故选Ｄ．７．【详解答案】由函数ｇ（ｘ）＝（ｘ－２）ｆ（ｘ）的图像关于点（２，０）中心对称可知，ｇ（２－ｘ）＝－ｇ（２＋ｘ），即（２－ｘ－２）ｆ（２－ｘ）＝－（２＋ｘ－２）ｆ（２＋ｘ），可得ｆ（２－ｘ）＝ｆ（２＋ｘ），因此函数ｆ（ｘ）具有对称轴ｘ＝２，由ｇ（－１）＝（－１－２）ｆ（－１）＝３，可得ｆ（－１）＝－１，由ｆ（ｘ）为Ｒ上的偶函数且具有对称轴ｘ＝２，可得ｆ（３）＝ｆ（１）＝ｆ（－１）＝－１．故选Ｂ．８．【详解答案】由题意的∠ＯＳＣ＝α，∠ＥＯＳ＝β，则∠ＳＣＯ＝９０°－α，∠ＥＯＣ＝９０°－β，ｃｏｓβｓｉｎ∠ＥＯＣ所以ｅ＝＝，在△ＳＯＣ中，ＳＥ＝２ＥＣ，ＳＯ＝２２，ＣＯ＝１，ｃｏｓαｓｉｎ∠ＳＣＯ槡→２→１→２４２３则｜ＯＥ｜２＝ＯＣ＋ＯＳ＝，所以ＯＥ＝槡，且ＳＣ＝３，ＥＣ＝１．(３３)３３ＥＣＥＯｓｉｎ∠ＥＯＣＥＣ３由正弦定理得，＝，即＝＝槡，故选Ｃ．ｓｉｎ∠ＥＯＣｓｉｎ∠ＳＣＯｓｉｎ∠ＳＣＯＥＯ２２π９．【详解答案】函数ｆ（ｘ）的周期为＝π，故Ａ正确；２ππππｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ－的单调增区间为２ｋπ－≤２ｘ－≤２ｋπ＋，(３)２３２π５π即ｋπ－≤ｘ≤ｋπ＋（ｋ∈Ｚ），故Ｂ错误；１２１２ππｋπ５π令２ｘ－＝ｋπ＋，则ｘ＝＋（ｋ∈Ｚ），故Ｃ正确；３２２１２参考答案 第 １页 （共７页）书ππ２π函数ｙ＝ｓｉｎ２ｘ向右平移个单位长度得到ｙ＝ｓｉｎ２ｘ－＝ｓｉｎ２ｘ－，故Ｄ错误．３[(３)](３)故选ＡＣ．１０．【详解答案】当ａｎ＋１＋ａｎ＝ｆ（ｎ）＝２ｎ时，若ａ１＝２，可演绎为ａ２＝０，ａ３＝４，ａ４＝２，ａ５＝６，…因此数列｛ａｎ｝不是等差数列，故Ａ选项错误；当ａｎ＋１＋ａｎ＝ｆ（ｎ）＝２ｎ＋１时，若ａ１＝１，可演绎为ａ２＝２，ａ３＝３，ａ４＝４，ａ５＝５，…因此数列｛ａｎ｝是等差数列，故Ｂ选项正确；当ａｎ＋１＋ａｎ＝ｆ（ｎ）＝４时，若ａ１＝２，可演绎为ａ２＝２，ａ３＝２，ａ４＝２，ａ５＝２，…因此数列｛ａｎ｝是等比数列，故Ｃ选项正确；ｎ－１当ａｎ＋１＋ａｎ＝ｆ（ｎ）＝３×２时，若ａ１＝１，可演绎为ａ２＝２，ａ３＝４，ａ４＝８，ａ５＝１６，…因此数列｛ａｎ｝是等比数列，故Ｄ选项正确；故选ＢＣＤ．１１．【详解答案】当点Ａ与圆Ｍ的圆心重合时，线段ＰＡ的中垂线与直线ＰＭ的交点Ｑ即为ＰＭ的中点，因此点Ｑ的轨迹为圆，故Ａ选项正确；当点Ａ在圆Ｍ上时，轨迹为一个点，故Ｂ选项错误，当点Ａ在圆Ｍ内且非圆心时，｜ＱＰ｜＝｜ＱＡ｜，则｜ＱＭ｜＋｜ＱＡ｜＝ｒ（其中ｒ为圆Ｍ的半径），因此点Ｑ的轨迹为椭圆，故Ｃ选项正确．当点Ａ在圆Ｍ外时，｜ＱＰ｜＝｜ＱＡ｜，则｜ＱＭ｜－｜ＱＡ｜＝ｒ或｜ＱＡ｜－｜ＱＭ｜＝ｒ（其中ｒ为圆Ｍ的半径），因此点Ｑ的轨迹为双曲线，故Ｄ正确；故选ＡＣＤ．２２１２．【详解答案】ａ３＝ａ２·ａ６，则（１＋２ｄ）＝（１＋ｄ）·（１＋５ｄ），ｄ＝－２，则ａ４＝ａ１＋３ｄ＝１＋３×（－２）＝－５．故答案为－５．２２２２１３．【详解答案】｜ａ－ｂ｜＝槡｜ａ－ｂ｜＝槡（ａ－ｂ）＝槡ａ－２ａ·ｂ＋ｂ＝槡３５．故答案为槡３５．１４．【详解答案】设事件Ａ＝“有且仅有一次经过Ｍ（－１，０）”，事件Ｂ＝“水平方向移动２次”，按到Ｍ（－１，０）位置需要１步，３步分类讨论．记Ｌ＝向左，Ｒ＝向右，Ｕ＝向上，Ｄ＝向下，①若１步到位为事件Ａ１，则满足要求的是ＬＵ（Ｌ或Ｕ或Ｒ），ＬＬ（Ｌ或Ｕ或Ｄ），１３１２３ＬＤ（Ｌ或Ｒ或Ｄ），ＬＲ（Ｕ或Ｄ或Ｒ），所以Ｐ（Ａ）＝４×３×＝＝；１(４)６４１６②若３步到位为事件Ａ２，则满足要求的是ＵＬＤ，ＤＬＵ，ＲＬＬ，ＵＤＬ，ＤＵＬ１３５１７所以Ｐ（Ａ）＝５×＝；所以Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ａ）＝，２(４)６４１２６４满足ＡＢ的情况有：ＬＵ（Ｌ或Ｒ），ＬＤ（Ｌ或Ｒ），ＬＬ（Ｕ或Ｄ），ＬＲ（Ｕ或Ｄ）．８１Ｐ（ＡＢ）８８所以Ｐ（ＡＢ）＝＝，所以Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝＝．故答案为．６４８Ｐ（Ａ）１７１７１５．（本小题满分１３分）２ｃ２【详解答案】（１）因为ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＝，由余弦定理得ａ２＋ｃ２－ｂ２２ｃ２ｃｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＝＝，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!３分２ａｃｃｏｓＢａｃｏｓＢ由正弦定理得参考答案 第 ２页 （共７页）ｓｉｎＣｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢｃｏｓＡｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）ｓｉｎＣｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＝＝＋＝＝＝，ｓｉｎＡｃｏｓＢｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＡｃｏｓＢ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６分在△ＡＢＣ中，所以ｓｉｎＣ＞０，ｃｏｓＢ≠０，ππ所以ｓｉｎＡ＝ｃｏｓＡ，所以ｔａｎＡ＝１，又Ａ∈（０，），所以Ａ＝；!!!!!!!!!!７分２４２２２２２（２）由余弦定理可得ａ＝ｃ＋ｂ－２ｃｂｃｏｓＡ＝ｃ＋ｂ－槡２ｃｂ＝４，!!!!!!!!!!９分由ｂ２＋ｃ２≥２ｂｃ，当且仅当ｂ＝ｃ时“＝”成立，４４＋槡２ｂｃ≥２ｂｃ，ｂｃ≤，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１１分２－槡２→→４槡２ＡＢ·ＡＣ＝ｃ·ｂ·ｃｏｓＡ≤·＝２槡２＋２．!!!!!!!!!!!!!!!!１３分２－槡２２１６．（本小题满分１５分）１【详解答案】（１）ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｋｘ，则ｆ′（ｘ）＝－ｋ，!!!!!!!!!!!!!!!１分ｘ１当ｋ≤０时，ｆ′（ｘ）＝－ｋ＞０恒成立，一定存在ｘ使ｆ（ｘ）≥０．!!!!!!!!!!３分ｘ１１当ｋ＞０时，令ｆ′（ｘ）＝－ｋ＝０（ｘ＞０），则ｘ＝，!!!!!!!!!!!!!!!４分ｘｋ１１１１ｆ＝ｆ＝ｌｎ－ｋ·＝－ｌｎｋ－１≥０，则０＜ｋ≤，!!!!!!!!!!!!６分ｍａｘ(ｋ)ｋｋｅ１综上ｋ≤．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!７分ｅ６６（２）ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｋｘ≤，令ｈ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｋｘ－，ｋｘｋｘ１６－ｋ２ｘ２＋ｋｘ＋６２３令ｈ′（ｘ）＝－ｋ＋＝＝０，则ｘ＝－（舍）或ｘ＝，!!!!!１０分ｘｋｘ２ｋｘ２１ｋ２ｋ３３３６３ｈ＝ｈ（）＝ｌｎ－ｋ·－＝ｌｎ３－ｌｎｋ－３－２＝ｌｎ－ｌｎｋ≤０，!!!!!１３分ｍａｘｋｋｋ３５ｋ·ｅｋ３３则ｋ≥，则ｋ的最小值为．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１５分ｅ５ｅ５１７．（本小题满分１５分）【详解答案】（１）证明：取ＡＢ中点Ｏ，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ为ＡＢ中点，所以ＯＣ⊥ＡＢ，π在△ＡＡＯ中，∠ＡＡＯ＝，ＡＯ＝２，ＡＡ＝４，所以ＡＯ＝２３，１１３１１槡２２２π所以有ＡＡ＝ＡＯ＋ＡＯ，即∠ＡＯＡ＝，所以ＡＯ⊥ＡＢ，!!２分１１１２１又因为Ａ１Ｏ∩ＯＣ＝Ｏ，Ａ１Ｏ平面Ａ１ＯＣ，ＯＣ平面Ａ１ＯＣ，ＡＢ⊥平面Ａ１ＯＣ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!４分又因为Ａ１Ｃ平面Ａ１ＯＣ，所以ＡＢ⊥Ａ１Ｃ；!!!!!!!!!６分（２）由（１）知Ａ１Ｏ⊥ＡＢ且平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ⊥平面ＡＢＣ，参考答案 第 ３页 （共７页）所以Ａ１Ｏ⊥面ＡＢＣ，则Ａ１Ｏ⊥ＯＣ，如图以ＯＡ，ＯＣ，ＯＡ１两两垂直，以Ｏ为坐标原点，以ＯＡ，ＯＣ，ＯＡ１方向为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系．Ａ（２，０，０），Ｂ（－２，０，０），Ｃ（０，２槡３，０），Ａ１（０，０，２槡３），!!!７分λ３λ设ＢＤ＝λ，Ｄ（－２－，０，槡），!!!!!!!!!!!!９分２２→→λ３λＡＣ＝（０，２３，－２３），ＤＣ＝（２＋，２３，－槡），１槡槡２槡２设平面Ａ１ＣＤ法向量为ｎ＝（ｘ０，ｙ０，ｚ０），→２槡３ｙ０－２槡３ｚ０＝０Ａ１Ｃ·ｎ＝０，，→λ３{ＤＣ·ｎ＝０（２＋）ｘ＋２３ｙ－槡ｚ＝０{０槡０λ０２２３（λ－４）得ｎ＝槡，１，１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１１分(λ＋４)平面ＡＡ１Ｄ的法向量为ｍ＝（０，１，０），!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２分１２１所以有＝槡，化简得λ２－１０λ＋１６＝０，２７槡３（λ－４）＋１２＋１２槡(λ＋４)所以有λ＝８（舍）或者λ＝２，所以ＢＤ＝２．!!!!!!!!!!!!!!!!!!１５分１８．（本小题满分１７分）【详解答案】（１）由ｘ２＋ｙ２＝λ＋μｙ，得ｘ２＋（１－μ）ｙ２＝λ，若（λ，μ）曲线为双曲线，则λ≠０，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１分２２２２２ｘ（１－μ）ｙ１－μ所以ｘ＋ｙ＝λ＋μｙ可化为＋＝１，则＜０，则μ＞１，!!!!!!!３分λλλ２所以当λ≠０，且μ＞１时，（λ，μ）曲线为双曲线；!!!!!!!!!!!!!!!!４分４４ｙ２方法一：（２）当λ＝１，μ＝时，ｘ２＋ｙ２＝１＋ｙ２，即ｘ２－＝１，!!!!!!!!!５分３３３→１→（ⅰ）由题意得Ｂ（－ｘ，－ｙ），Ｄ（－ｘ，ｙ），设点Ｅ（ｘ，ｙ），由ＤＥ＝ＡＤ，００００３２５１ｘ＋ｘ０＝－ｘ０ｘ＝－ｘ０即（ｘ＋ｘ，ｙ－ｙ）＝（－２ｘ，０），即３，得３，００３０{{ｙ－ｙ０＝０ｙ＝ｙ０５则Ｅ（－ｘ，ｙ），３００２ｙ３ｙ直线ＢＥ的斜率为ｋ＝０＝－０，ＢＥ２ｘ－ｘ０３０３ｙ０３ｙ０所以直线ＢＧ的方程为ｙ＋ｙ０＝－（ｘ＋ｘ０），即ｙ＝－ｘ－４ｙ０，!!!!!!!!６分ｘ０ｘ０参考答案 第 ４页 （共７页）３ｙｙ＝－０ｘ－４ｙｘ０９ｙ２２４ｙ２联立０，得０－３ｘ２＋０ｘ＋（１６ｙ２＋３）＝０，２２０(ｘ)ｘ０ｙ０{ｘ２－＝１３２９ｙ０由直线ＢＧ与双曲线有２个交点，则２－３≠０，ｘ０２２９ｙ０２２４ｙ０２又因为ｘ＝－ｘ０满足２－３ｘ＋ｘ＋（１６ｙ０＋３）＝０，(ｘ)ｘ００２２１６ｙ０＋３１６ｙ０＋３由韦达定得ｘＧ·（－ｘ０）＝２，解得ｘＧ＝２，!!!!!!!!!!!!!８分９ｙ０９ｙ０２－３３ｘ０－ｘ０ｘ０３ｙ０因为ｙＧ＝－ｘＧ－４ｙ０＞０，且ｙ０＞０，ｘ０２４１６ｙ０＋３４得ｘＧ＜－ｘ０＜０，所以ｘＧ＝２＜－ｘ０，３９ｙ０３３ｘ０－ｘ０ｙ２又因为ｘ２－０＝１，可得ｙ２＝３ｘ２－３，０３００２２２１６ｙ０＋３１６（３ｘ０－３）＋３（１６ｘ０－１５）ｘ０４所以ｘＧ＝２＝２２＝２＜－ｘ０，!!!!!!!!!１０分９ｙ０３ｘ０－９（３ｘ０－３）９－８ｘ０３３ｘ０－ｘ０ｘ０２２１６ｘ０－１５４１６ｘ０－９因为ｘ０＞１，所以２－＝２＞０，!!!!!!!!!!!!!!!１１分８ｘ０－９３３（８ｘ０－９）３２３２所以８ｘ２－９＞０，可得ｘ＞槡，即ｘ的取值范围为（槡，＋∞）．!!!!!!!!１２分００４０４３ｙ０３ｙ０ｙ０＋ｘＧ＋４ｙ０－（ｘ０－ｘＧ）＋８ｙ０ｘ０ｘ０３ｙ０８ｙ０（ⅱ）由（ⅰ）得ｋ２＝＝＝－＋２ｘ０－ｘＧｘ０－ｘＧｘ０１６ｙ０＋３ｘ０＋２９ｙ０－３ｘ０ｘ０３３７２ｙ０７２ｙ０－２４ｘ０ｙ０－２４ｘ０ｙ０３ｙ０ｘ０３ｙ０ｘ０３ｙ０７２ｙ０２４ｘ０ｙ０ｘ０＝－＋２２２＝－＋２＝－＋－２＝－，ｘ０９ｙ０＋１６ｙ０＋３－３ｘ０ｘ０２４ｙ０ｘ０２４ｘ０２４ｙ０ｙ０所以ｋ２ｋ１＝－１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１５分ｙ３槡２１８０１槡３因为ｘ＞，则０＜＜，则ｋ＝＝３１－２∈，３，０４２９１ｘ(ｘ)槡ｘ００(３)０槡１２槡３２槡３ｋ１＋ｋ２＝ｋ１－∈－，．１７分ｋ１(３３)４４ｙ２方法二：（２）当λ＝１，μ＝时，ｘ２