信息必刷卷04（新高考Ⅱ卷）解析版

绝密★启用前2025年高考考前信息必刷卷04（新高考Ⅱ卷）数学考情速递高考·新动向：新高考Ⅱ卷考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题考查数列新定义，考查的动向有：新概念的理解与应用、新运算与新情景的迁移能力、综合推理与存在性问题、数列与数学文化的结合、复杂逻辑与计算能力，以解答题的方式进行考查。高考·新情境：2025年新高考II卷数学试题将更加注重新情境的创设。试题将贴近实际生活，融入更多具有时代感和现实意义的元素，以考查学生在新情境下运用数学知识和方法解决问题的能力。这将要求学生不仅掌握扎实的数学基础，还需具备灵活的思维和创新能力，能够迅速适应新情境，准确分析问题，并给出有效的解决方案。考生需关注社会热点和科技发展，提升数学应用意识和实践能力。命题·大预测：对于2025年新高考II卷数学命题的预测，整体难度可能会有所调整，更注重考查学生的综合能力和创新思维。试题可能更加注重基础知识的灵活应用，同时融入更多新情境、新题型。预计会延续对函数、数列、立体几何、概率统计等主干知识的考查，注重通性通法，淡化特殊技巧。解析几何保持稳定，重点考查曲线方程、最值问题等，可能减少计算量、增加思维深度，融合向量、方程等跨学科内容。考生需扎实掌握基础知识，提高解题技巧和应变能力，以应对可能的命题变化。（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，因为，所以，故，所以，故选：A2．已知复数满足，则（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，设，则,∴，∴，解得，，∴.故选：B.3．已知向量且向量方向相反，则可以是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为向量且向量方向相反，当时，，不满足题意，当时，，解得，且，所以，，且，经检验只有满足题意，故选：D4．空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，且，则【答案】B【解析】选项A，若，则与可以相交，也可以平行，不一定垂直，A错；选项B，若，则直线的方向向量分别是平面的法向量，两平面垂直，即为它们的法向量垂直，则，B正确；选项C，若，则可能有，也可能相交，C错；选项D，若，且，则或，D错．故选：B．5．记数列的前项和为，若数列是公差为1的等差数列，则（）A．1 B．2 C．2025 D．2022【答案】A【解析】因为数列是公差为1的等差数列，所以，故，当时，，，两式相减得，则，得到，故，即，故为常数列，则，即，故A正确.故选：A．6．已知，则（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，可得，，．故选：A．7．已知，若实数满足，则的最小值为（    ）A． B． C．2 D．8【答案】C【解析】由题意，点在曲线上，点在直线上，的几何意义就是曲线上的点与直线上的点两点间的距离的平方.当点为曲线平行于直线的切线的切点，且直线垂直于直线时，两点间的距离才可能最小.又，令，解得或（舍去），所以切点为.切点到直线的距离就是所要求的曲线上的点与直线上的点之间的最小距离，故的最小值为.故选：C.8．在双曲线的右支上有一点，过点的直线交的两条渐近线于两点（点均在轴的右侧）.若，且（为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由双曲线的对称性，设.由，可得，即.将其坐标代入双曲线的方程，得，化简得因为双曲线的渐近线方程为：，因为，所以，所以，.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知一组样本数据，若，则下列说法正确的是（    ）A．该样本数据的上四分位数为B．若样本数据的方差为，则这组样本数据的平均数为2C．剔除某个数据后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差D．若的均值为2，方差为的均值为6，方差为2，则的方差为5【答案】BC【解析】对于A，由，所以样本数据的上四分位数为，故A错误；对于B，由方差公式得，所以根据已知条件可知：，因为，所以，故B正确；对于C，剔除某个数据后得到的新样本数据的极差不大于原样本数据的极差，故C正确；对于D，由于，则，故D错误；故选：BC.10．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（    ）A．对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；B．函数是圆的一个太极函数；C．存在圆，使得是圆的太极函数；D．直线所对应的函数一定是圆的太极函数．【答案】BD【解析】对于A，如图折线形成的函数是偶函数，满足，显然函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，A错误；对于B，将正弦函数的图象向上平移1个单位即得的图象，即的图象关于点成中心对称，而圆也关于点中心对称，因此函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，B正确；对于C，的定义域为，且，即为奇函数，图象关于对称，若是圆的太极函数，则圆的圆心应为，但是不在的图象上，因此函数不能将圆的周长和面积同时等分成两部分，C错误；对于D，直线，即，由，解得，则直线恒过定点，显然直线经过圆的圆心，该直线能将圆的周长和面积同时等分成两部分，D正确，故选：BD11．已知是定义在上的函数，对于任意实数满足，当时，，则（    ）A． B．C．有3个零点 D．若，则或【答案】ACD【解析】对于A，已知，令，则，故；令，则，解得，故A正确；对于B，令，则，解得；令，则，得到是奇函数，不满足，故B错误；对于C，令，则，而，得到是奇函数，且在上有定义，则，，得到有3个零点，故C正确，对于D，结合，解得，显然，而，若，则即可，当时，此时，则，符合题意，而在时，，则，，不符合题意，排除，当时，，，故，由奇函数性质得，符合题意，当时，，此时，由奇函数性质得，不符合题意，排除，综上，若，则或，故D正确.故选：ACD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若的展开式中的系数是20，则实数的值为．【答案】6【解析】的展开式中的系数是．故答案为：613．在中，角的对边分别为，且，若点是的中点，，则.【答案】3【解析】在中，因，，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，因为，即，可得，解得.故答案为：3.14．三棱锥中，平面，，平面内动点的轨迹是集合，已知、，且在所在直线上，．则三棱锥外接球的表面积为．【答案】【解析】以中点为原点建立直角坐标系，不妨设，，设由可得，化简，，所以外接圆半径为2，设三棱锥的外接球半径为，由，．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求的最值．【解析】（1）函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为，即.（5分）（2）函数的定义域为，，（8分）当时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，，（12分）所以的最大值为，无最小值.（13分）16．（15分）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位､十位､百位､......，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.（例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.）现将算盘的个位､十位､百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上.(1)设事件为“表示的三位数能被5整除”，为“表示的三位数能被3整除”.分别求事件，发生的概率；(2)求随机变量“表示的三位数除以3的余数（能整除时记余数为0）”的概率分布列及数学期望.【解析】（1）将算盘的个位､十位､百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上，因此各位上数字可以是1､2､5､6，三位数的个数是，要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可，而这些数中个位数是5的数的个数为，所以事件发生的概率（3分）要使得组成的三位数能被3整除，则数字组合有共8种，因此满足条件的三位数有个，所以事件发生的概率.故.（7分）（2）记三位数除以的余数为，则的可能取值为，（8分）由（1）知时数字组合有共6种，因此被整除余1的三位数有个，所以，，（12分）X的概率分布列为：012数学期望.（15分）17．（15分）已知四棱柱如图所示，底面ABCD为平行四边形，其中点D在平面内的投影为点，．(1)求证：平面平面；(2)已知点E在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值及直线BE与平面所成角的正弦值．【解析】（1）不妨设，  因为平面平面，故，在中，，由余弦定理得，得，故，则，（3分）因为平面，所以平面，而平面，所以平面平面；（5分）（2）由（1）知，两两垂直，如图所示，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，故，（7分），所以，设，则，即，所以；（9分）设为平面的一个法向量，则，令，则，所以，因为轴平面，则可取为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，解得，故，（13分），，设与平面所成角为，则.（15分）18．（17分）已知圆C：A：为圆C与y轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AM，并使弦AM的中点B恰好落在x轴上，点M的轨迹为曲线E，Q为直线上的动点.(1)求曲线E的方程；(2)过点Q作曲线E的切线，切点分别为D，G.①求的值；②求面积的最小值.【解析】（1）设，而，则弦的中点，又，于是，，由，得，即，所以曲线的方程为.（4分）（2）①由（1）知，曲线E：，求导得，设，，，切线的方程为：，即，同理得切线的方程为：，（6分）又两切线都过点，因此，则直线的方程为，由消得：，则，则，于是，，所以.（9分）②由①知，直线恒过抛物线的焦点，，由抛物线定义得：，，（13分）因此的面积，当且仅当时取等号，所以面积的最小值为4.（17分）19．（17分）已知数列的前项和分别为，定义数列的“关联数列”为，且.(1)若.求；(2)若，求的值；(3)已知当时，，当且仅当时“”成立.若数列为正项数列，且，，证明：.【解析】（1）由题意得，.（4分）（2）由题意，当时，；当时，，故.（9分）（3）由，，可得，即得，则，则有：（*）.，由（*）可得：.（13分）因时，，由已知不等式可得：，故得，即得证.（17分）