湖北省部分高中协作体2024-2025学年高三下学期4月期中联考数学答案

高三数学试题答案一、选择题：1.B解析 A中函数定义域不是[-2,2];C中图象不表示函数;D中函数值域不是[0,2]。故选B。2.A解析 sin239°tan149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)=-cos31°(-tan31°)=sin31°=1−a2。故选A。3.C解析 由动点P满足OP=(1-λ)OD+λOC(λ∈R),且1-λ+λ=1,所以P,C,D三点共线,又因为D为A,B的中点,所以CD为△ABC的边AB的中线,所以点P的轨迹一定过△ABC的重心。故选C。4.D解析 由题意,以A为原点,AB,AD,AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,因为正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的底面边长为1,且∠B1AB=π3,所以BB1=AB·tanπ3=3,则A(0,0,0),C(1,1,0),E0,1,32,A1(0,0,3),所以AE=0,1,32,A1E=0,1,−32,CE=−1,0,32。设平面EAC的法向量为n=(x,y,z),则n·AE=0,n·CE=0,即y+32z=0,−x+32z=0,令z=23,则x=3,y=-3,所以n=(3,-3,23)是平面EAC的一个法向量。因为AC∥A1C1,且AC⊂平面EAC,A1C1⊄平面EAC,所以A1C1∥平面EAC,所以A1C1到平面EAC的距离d即点A1到平面EAC的距离,则d=|A1E·n|n=630=305。故选D。5.A解析 设P(x,y),由QP=(1,-3),得Q(x-1,y+3),因为Q在直线l:x+2y+1=0上,故x-1+2(y+3)+1=0,化简得x+2y+6=0,即P的轨迹E为直线且与直线l平行,E上的点到l的距离d=|6−1|12+22=5,故C,B,D错误,A正确。故选A。6.C解析 因为h'(t)=-9.8t+8,所以h'(0.5)=-9.8×0.5+8=3.1,所以此运动员在0.5秒时的瞬时速度为3.1米/秒。故选C。7.D解析 由{an}是等差数列,得a5+a6=a2+a9,又a5+a6=a2+4,所以a9=4,所以S17=172(a1+a17)=17a9=17×4=68。故选D。8.B解析 从小到大排列此数据为:10,12,14,14,15,15,16,17,17,17。平均数为110×(10+12+14×2+15×2+16+17×3)=14.7;数据17出现了三次,17为众数;第5位、第6位均是15,故15为中位数。所以a=14.7,b=15,c=17,即a0时,由c3a1b>0,即b>a>0,所以00,所以c与b-a异号,即c与a-b同号,故C正确;由ac0,解得k>0;当k=0时,直线为y=1,符合题意,故k的取值范围是[0,+∞)。(3)由题意知k≠0,由l的方程,得A−1+2kk,0,B(0,1+2k)。依题意,得−1+2kk<0,1+2k>0,解得k>0。因为S=12·|OA|·|OB|=12·1+2kk·|1+2k|=12·(1+2k)2k=124k+1k+4≥12×(2×2+4)=4,当且仅当4k=1k,即k=12时,等号成立,所以Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0。18.（本小题满分12分）解 (1)当a=12时,f(x)=lnx-12x,函数的定义域为(0,+∞)且f'(x)=1x−12=2−x2x,令f'(x)=0,得x=2,于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表。x(0,2)2(2,+∞)f'(x)+0-f(x)单调递增ln2-1单调递减故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值=f(2)=ln2-1,无极小值。(2)由(1)知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x−a=1−axx。当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,则函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点;当a>0时,若x∈0,1a,则f'(x)>0,若x∈1a,+∞,则f'(x)<0,故函数在x=1a处有极大值。综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值点,当a>0时,函数y=f(x)有一个极值点。19.（本小题满分12分）解 (1)解法一:记{an}的公差为d,由3a2+2a3=S5+6,得3(a1+d)+2(a1+2d)=5a1+5×42d+6,解得d=-2,所以Sn=na1+n(n−1)2×(-2)=-n2+(a1+1)n。若数列{Sn}为单调递减数列,则Sn+1-Sn<0(n≥1)恒成立,即an+1=a1-2n<0(n≥1)恒成立,得a1<2n(n≥1)恒成立,得a1<2,即a1的取值范围为(-∞,2)。解法二:记{an}的公差为d,由3a2+2a3=S5+6,得3(a1+d)+2(a1+2d)=5a1+5×42d+6,解得d=-2,所以Sn=na1+n(n−1)2×(-2)=-n2+(a1+1)n。若数列{Sn}为单调递减数列,则需满足a1+12<32,解得a1<2,即a1的取值范围为(-∞,2)。(2)由(1)知,{an}的公差d=-2,又a1=1,所以an=1+(n-1)×(-2)=3-2n。根据题意,数列{bn}为1,20,-1,20,21,-3,20,21,22,-5,…,-2n+3,20,21,…,2n-1,-2n+1,…。可将数列分组:第一组为1,20;第二组为-1,20,21;第三组为-3,20,21,22;第k(k∈N*)组为-2k+3,20,21,22,…,2k-1。则前k组一共有2+3+…+(k+1)=(k+3)k2(项),当k=12时,项数为90。故T95相当于是前12组的和再加上-23,1,2,22,23,即T95=[1+(-1)+(-3)+…+(-21)]+[20+(20+21)+(20+21+22)+…+(20+21+…+211)]+(-23+1+2+22+23)。20+(20+21)+(20+21+22)+…+(20+21+…+211)可看成是数列{cn}(cn=2n-1)的前12项和,所以T95=(1−21)×122+2×(1−212)1−2-12-23+1+2+4+8=213-142=8050。