山西省太原市2025年高三模拟考试（二）数学答案

太原市2025年高三年级模拟考试（二）数学试题参考答案及评分建议一．选择题：ACDBCBDA二．选择题：9.ABD10.BC11.BCD42三．填空题:12.313.(,0)14.[,0)273四．解答题:本题共5小题，共77分.15.解：（1）记抛掷两枚骰子的试验结果为(a,b)，则其样本空间为{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}，n()36，………2分所求事件A{(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}，n(A)15，………4分155由古典概型可得P(A).………6分361261（2）由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，则P(X0)，366105826141P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，361836936636921P(X5)，361815211135E(X)012345.………13分618969181816.解:（1）由题意得，，Sn12an12Sn1Sn2an12an，是公比的等比数列，………3分an12an{an}q2当时,，，n1n*.………6分n1S12a12a1a12ana1q2(nN)（2）由（1）得n，n*，………7分an2bnlog22n(nN)b2b2b2b212232(n1)2n2123n，①Tn23n1na1a2a3an22222112232(n1)2n2T，②2n2223242n2n1113572n1n2①-②得T，………10分2n22223242n2n113572n1113572n1令R，③则R，④n22223242n2n222324252n11111112n12n3③-④得R，R3，………13分2n2222232n12n1n2nn24n6T6.………15分n2n17.（1）证明：连接交于，连结，ACBDOOA1由题意得四边形ABCD是菱形，ACBD，即AOBD，………1分在△ABD中，ABADBD2，AO3，OBOD1，在△中，222，，A1ABA1BAA1AB2AA1ABcosA1AB2A1B2同理可得，△是等腰三角形，222，A1D2A1BDA1OA1BOB1222，，………4分AA1AOA1OAOA1O，平面，平面平面.………6分A1OBDOACA1BDA1BDABCD（2）由（1）得，，AOA1O,AOBDA1DA1B2，以为原点，所在直线分别A1OBDOOA,OB,OA1为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，A1(0,0,1)B(0,1,0)C(3,0,0)E(3,0,1)yz0,设是平面的一个法向量，则mBA1,11m(x1,y1,z1)A1BCmBC,3x1y10,取，则，，x11y1z13m(1,3,3)3xyz0,设是平面的一个法向量，则nBE,222n(x2,y2,z2)BCEnBC,3x2y20,取，则，，………11分x21y23,z20n(1,3,0)mn427cosm,n，………13分|m||n|72727二面角ABCE的余弦值为.………15分17pp18.解：（1）由题意设A(x,y),B(x,y)，当m时，设直线AB的方程为xy，112222pxy,由得22，，2，………2分2y2pyp0y1y22py1y2p2y2pxp2p2|PA|(x)2y2y，|PB|(x)2y2y，121122222，|PA||PB|2y1y22p8p2，抛物线E的方程为y24x.………5分（2）①由（1）得抛物线的方程为2，设，Ey4xA(x1,y1),B(x2,y2)xym,设直线的方程为，由得2，ABxym2y4y4m0y4x，，，………6分1616m0y1y24y1y24m22，22，|PA|(x1m)y12y1|PB|(x2m)y22y2，………8分|PA||PB|2y1y28m设，设直线的方程为，C(x3,y3),D(x4,y4)CDxymxym,由得2，，，2y4y4m01616m00m1y4x，，，，………9分y3y44y3y44m|QC|2y3|QD|2y4，.………11分|QC||QD|2y3y48m|PA||PB||QC||QD|②由①可得2，|AB||PA||PB|2(y2y1)2(y2y1)4y1y2421m2，|CD||QC||QD|2(y3y4)2(y3y4)4y3y4421m|2m|直线AB与CD的距离d2m，………14分21AB//CD，S(|AB||CD|)d4m(1m1m)，0m1，ABCD23m223m令f(m)m(1m1m)，0m1，则f(m)，21m21m2222令f(m)0，则0m，令f(m)0，则m1，332283323当m时,f(m)取得最大值,此时四边形ABCD面积取最大值.……17分3991319.解（1）由题意得g(x)10，g(x)在(1,2]上是单调递增，1g(x)，x223函数g(x)的值域为(1,].………3分2（2）证明：①由题意得x，an，f(x)xef(an)ane在处的切线方程为anan，f(x)Pn(an,f(an))y(an1)eane(xan)1，，………5分an1an1n1,2,an3a2，由（1）可得1a，n2,3,，………6分1n21a2a1na(a1)2a111n1nnn1，n1,2,3,，………8分an1an1an(an1)anan2a1a1a1a11nn132，n1an11an21a21a11211a1，a1，n1,2,.………10分n2n1n2n111②由题意得S|QQ|f(a)|aa|f(a)，………11分n2nn1n2n2n1n13743，，，a12an1an1a2,a3,a4an26421113113S|aa|f(a)e2e2，S|aa|f(a)e2，………13分1232163224322811,，,an1an11an2an1an10anan31aaaa2,n1n221110aa，0a1，n2,3,，………14分nn12n2n1313当n3时，f(a)(a1)eane2(a1)e2，nnn2n131112S|QQ|f(a)|aa|f(a)e，………15分n2nn1n2n2n1n2n1nnn131133n1222SiS1S2SiS1S2i1e()eei1i1i3i32328i321131311131313()e2e2(1)()e2e2e2.………17分32882n232882注：以上各题其它解法请酌情赋分.