数学答案

s2022——2023学年度第一学期高三期末调研考试数学试题答案一、1—8．DBACA，CDA二、9—12．ABC，CD，CD，BCD13．4，14．－eq\f(1,2)，15．3；0，(第一个空2分，第二个空3分）16．5四、17.解：（1）在2Sn＝3an－3中令n＝1，得a1＝3，……1分∵2Sn＝3an－3，∴当n＞1时，2Sn－1＝3an－1－3，两式相减得2an＝3an－3an－1，∴an＝3an－1，……3分∴数列{an}是以1为首项，以3为公比为的等比数列，∴an＝3n．……4分（2）∵bn＝3n，∴数列{an}中的项都在数列{bn}中．数列{an}前5项：3，9，27，81，243在数列{bn}前105项中．这五项和为363……6分{bn}前105项的为数列{bn}前105项为3，6，9，…，27，…81，…，243，…，315，它们的和为105×3＋105×52×3=16695……8分所以数列{cn}的前100项和为数列{bn}前105项的和减去3、9、27、81、243的和，得：105×3＋105×52×3－363＝16332．……10分18．解：（1）∵2CD·sinA＝b·sin∠ACB，由正弦定理……1分得2CD·a＝b·c，……2分∴CD＝c；……4分（2）∵EQ\O(AD,\S\UP8(→))＝EQ\O(DB,\S\UP8(→))，∴EQ\O(CD,\S\UP8(→))＝eq\f(1,2)EQ\O(CA,\S\UP8(→))＋eq\f(1,2)EQ\O(CB,\S\UP8(→))，……6分两边平方得，4(EQ\O(CD,\S\UP8(→)))2＝(EQ\O(CA,\S\UP8(→)))2＋(EQ\O(CB,\S\UP8(→)))2＋2EQ\O(CA,\S\UP8(→))·EQ\O(CB,\S\UP8(→))，即4c2＝b2＋a2＋2ab·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，……8分化简得：5c2＝2a2＋2b2．……10分∵b＝2a，∴c2＝2a2．……11分∴cos∠ACB＝eq\f(a2＋4a2－2a2,2a·2a)＝eq\f(3,4)……12分19．解：（1）设AC与DM相交于点O，∵矩形ABCD中AB＝2，AD＝eq\r(2)，M为AB中点，∴AD∶DC＝MA∶AD，∴△ADC∽△MAD，∴∠DCA＝∠ADM，∵∠ACD＋∠DAC＝90°．∴∠ADM＋∠DAC＝90°，∴∠DOA＝90°，∴DM⊥AC．……2分由折叠可知PO⊥AC，OM⊥AC，∵PO∩OM＝O，∴AC⊥平面POM，……3分∵PM在平面POM内，∴AC⊥PM．∴PM与AC所成的角为90°……4分（2）由（1）知，PO⊥AC，OM⊥AC，∴P—AC—B所成角为∠POM＝60°……5分PO＝eq\f(2eq\r(3),3)，OM＝eq\f(eq\r(3),3)，可知PM＝1，……6分又∵AM＝1，PA＝eq\r(2)，∴PM⊥AB，……7分方法一：∵M为AB中点，∴PB＝PA＝eq\r(2)，∴PA⊥PB，……8分又∵PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC，……10分∴∠ABP即为AB与平面PBC所成的角，……11分∵∠ABP＝45°，∴AB与平面PBC所成的角为45°．……12分方法二：PM⊥AB,由（1）知AC⊥PM．AC与AB交与A点∴PM⊥平面ABC，……8分取AC中点E，连接ME，则ME∥BC，∴ME⊥AB，以M为坐标原点，分别以ME，MA，MP所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系M—xyz，……9分∴A(1，0，0)，B(－1，0，0)，C(－1，eq\r(2)，0)，P(0，0，1)，∴EQ\O(BA,\S\UP8(→))＝(0，2，0)，EQ\O(BC,\S\UP8(→))＝(eq\r(2)，0，0)，EQ\O(BP,\S\UP8(→))＝(0，1，1)∴平面PBC的法向量m＝(0，1，－1)，……10分设AB与平面PBC所成的角为α，则sinα＝eq\f(|EQ\O(BA,\S\UP8(→))·m|,|EQ\O(BA,\S\UP8(→))|)＝eq\f(eq\r(2),2)，……11分∴AB与平面PBC所成的角为45°．……12分20．解：（1）∵3＋x＋21+35＋33＝100，∴x＝100－(3＋21＋35＋33)＝8，……1分∵2＋6＋16＋y＋16＝100×eq\f(3,5)＝60，∴y＝60－(2＋6＋16＋16)＝20，……2分（2）由题意可知，X的取值可能为0，1，2，∵这100位学生学时在[30，60）的大四学生为8人，在[40，50）的大四学生为2人，……3分P(X＝0)＝＝eq\f(6×5,8×7)＝eq\f(15,28)，P(X＝1)＝＝eq\f(6×2×2×1,8×7)＝eq\f(3,7)，P(X＝2)＝＝eq\f(2×1,8×7)＝eq\f(1,28)，随机变量X的概率分布列如表为：X012Peq\f(15,28)eq\f(3,7)eq\f(1,28)……6分随机变量X的数学期望为0×eq\f(15,28)＋1×eq\f(3,7)＋2×eq\f(1,28)＝eq\f(1,2)……7分（Ⅲ）设两个年级共有m人，A＝{大三大四中任选一学生一学年体育课程完成学时位于区间[70，80]}，B＝{大三大四中任选一学生体育课程选的乒乓球}，……8分则由条件概率公式得P(B|A)＝eq\f(n(AB),n(A))……9分＝eq\f(m×25%×0.33,m×16%)……11分＝0.515625≈0.5156即该生选乒乓球的概率约为0.5156．……12分21．解：（1）将y＝kx＋4代入eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1，得eq\f(x2,16)＋eq\f((kx＋4)2,8)＝1，整理得(2k2＋1)x2＋16kx＋16＝0……①．……1分因为M是椭圆与直线l的唯一公共点，所以(16k)2－4×16×(2k2＋1)＝0，得2k2＝1，……2分∴k＝eq\f(eq\r(2),2)或k＝－eq\f(eq\r(2),2)．将k＝eq\f(eq\r(2),2)代入方程①解得x＝－2eq\r(2)，代入y＝kx＋4得y＝2；将k＝－eq\f(eq\r(2),2)代入方程①得x＝2eq\r(2)，代入y＝kx＋4得y＝2．∴点M为(－2eq\r(2)，2)或(2eq\r(2)，2)．……4分（2）（ⅰ）将y＝kx＋m代入eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1，得eq\f(x2,16)＋eq\f((kx＋m)2,8)＝1，整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2(m2－8)＝0……②．因为M是椭圆与直线l的唯一公共点，所以(4km)2－4×2(2k2＋1)(m2－8)＝0，即m2＝16k2＋8……③．……5分方程②的解为x＝－eq\f(2km,2k2＋1)，将③式代入x＝－eq\f(2km,2k2＋1)，得x＝－eq\f(16k,m)，将x＝－eq\f(16k,m)代入y＝kx＋m，得y＝eq\f(m2－16k2,m)＝eq\f(8,m)，所以点M的坐标为(－eq\f(16k,m)，eq\f(8,m))，……7分因为k≠0，所以过点M且与l垂直的直线为y－eq\f(8,m)＝－eq\f(1,k)(x＋eq\f(16k,m))．可得A(－eq\f(8k,m)，0)，B(0，－eq\f(8,m))，P(－eq\f(8k,m)，－eq\f(8,m))，即x＝－eq\f(8k,m)，y＝－eq\f(8,m)．由x＝－eq\f(8k,m)，y＝－eq\f(8,m)，得k＝eq\f(x,y)，m＝－eq\f(8,y)，……8分将k＝eq\f(x,y)，m＝－eq\f(8,y)，代入m2＝16k2＋8得(－eq\f(8,y))2＝16(eq\f(x,y))2＋8，所以16x2＋8y2＝64，整理得eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,4)＝1（xy≠0）．轨迹是焦点在y轴，长轴长为4eq\r(2)，短轴长为4的椭圆（去掉四个顶点）．……10分（ⅱ）∴如果将此题推广到一般椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a＞b＞0），直线y＝kx＋m（k≠0），其他条件不变，可得点P(x，y)的轨迹方程是eq\f(x2,eq\f(c4,a2))＋eq\f(y2,eq\f(c4,b2))＝1（xy≠0），轨迹是焦点在y轴上，长轴长为eq\f(2c2,b)，短轴长为eq\f(2c2,a)的椭圆（去掉四个顶点）．……12分22.解：（1）f′(x)＝xex－a（x＞－1），……1分 ∵x0是y＝f(x)的一个极值点且f(x0)＝－1∴f′(x0)＝0且f(x0)＝－1，即x0－a＝0……①……2分且(x0－1)－ax0＝－1……②……3分联立①②消去a得：(x02－x0＋1)＝1，令F(x)＝(x2－x＋1)ex，则F′(x)＝(2x－1)ex+(x2－x＋1)ex＝x(x＋1)ex，令F′(x)＝0得x＝0或x＝－1（舍）当x∈(－1，0)时，F′(x)＜0，y＝F(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，F′(x)＞0，y＝F(x)单调递增．∵F(0)＝1，∴(x02－x0＋1)＝1有唯一解，∴x0＝0，……5分把x0＝0代入①得a＝0，∴当x0＝0，a＝0时，f(x)＝(x－1)ex满足题意．……6分（2）h(x)＝ex(xex－a＋a)＝xe2x∵g(x1)＝h(x2)，∴lnx1＝x2，……7分设t1＝lnx1，则t1＝x2，∵x1＞1，∴t1＞0，令F(x)＝xe2x，则F′(x)＝(2x＋1)e2x，当x＞0时，F′(x)＞0，y＝F(x)单调递增∴F(t1)＝F(x2)，∴x2＝t1＝lnx1，……9分设H(x1)＝x1－2x2＝x1－2lnx1（x1＞1）∴H′(x1)＝1－eq\f(2,x1)，令H′(x1)＝0得x1＝2当x1∈(1，2)时，H′(x1)＜0，∴H(x1)在(1，2)上单调递减；当x1∈(2，＋∞)时，H′(x1)＞0，∴H(x1)在(2，＋∞)上单调递增，……11分∵x1＝2时，H(x1)＝2－2ln2，∴x1－2x2的最小值为2－2ln2．……12分