河南天一大联考2022-2023学年高三上学期1月期末联考文科数学试题

大联考2022-2023学年高三年级上学期期末考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知在复平面内，复数z所对应的点为，则（）A． B． C． D．3．已知抛物线（）的焦点为F，直线与C交于A，B两点，若，则（）A．4 B． C．5 D．4．已知向量，，若，则（）A． B．1 C． D．5．已知在正方体中，，交于点O，则（）A．平面 B．平面C．平面 D．6．为了处理大数的运算，许凯与斯蒂菲尔两位数学家都想到了构造双数列模型的方法，如计算时，我们发现256是8个2相乘，4096是12个2相乘，这两者的乘积，其实就是2的个数做一个加法，所以只需要计算8+12=20，进而找到下表中对应的数字1048576，即．记，则（）n01234567891012481632641282565121024n1112…19202122232425…20484096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…A． B． C． D．7．已知点，，若在直线（，）上存在点A，使得，则（）A． B． C． D．8．已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．9．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．10．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，（表示的面积），则（）A． B． C． D．11．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．12．已知正四棱锥的外接球半径为，底面边长为2，．若SC垂直于过点A的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．为了解某专业大一新生的学习生活情况，辅导员将该专业部分学生一周的自习时间（单位：h）统计后制成如图所示的统计图，则a=______．14．已知函数，，，若与的图象的对称轴相同，则的一个值为______．15．在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题．如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为A，B，C，，，．现移动边AC，使得点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上运动，则（点O为坐标原点）的最大值为______．16．过动点A作直线l与圆相切于点B，若（O为坐标原点），且，则实数的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）近年来，各地电商行业迅速发展，电商行业的从业人数也相应增长．现将某地近5年电商行业的从业人数统计如下表所示．第x年12345从业人数y（万人）58111115（Ⅰ）若y与x线性相关，求y与x之间的回归直线方程；（Ⅱ）已知甲、乙、丙、丁、戊5名大学生今年毕业，其中3人的就业意向为电商行业，其余2人的就业意向为金融行业，若从这5人中随机抽取3人，求至少有2人的就业意向为电商行业的概率．参考公式：在线性回归方程中，，．18．（12分）已知等差数列的前n项和为，且，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，且的前n项和为，求满足不等式的n的值．19．（12分）如图所示，在四棱锥中，，M为棱AD的中点，，，平面平面．（Ⅰ）求证：平面SAD；（Ⅱ）求点M到平面SCD的距离．20．（12分）已知椭圆（a>b>0）的离心率为，过右焦点且与x轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）若过点的直线与椭圆C交于P，Q两点，点R的坐标为，且轴，探究：直线PR是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）设函数，判断的单调性；（Ⅱ）若当时，关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，点P的极坐标为．（Ⅰ）求直线l的极坐标方程以及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）记M为直线l与曲线C的一个交点，其中，求的面积．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数，．（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）若，，使得成立，求实数m的取值范围．2022-2023学年高三年级上学期期末考试文科数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．答案 B命题意图 本题考查函数的定义域及集合的运算．解析依题意，，则．2．答案 A命题意图 本题考查复数的几何意义、复数的四则运算．解析依题意，．3．答案 D命题意图 本题考查抛物线的定义与方程．解析 不妨设点A在第一象限，则，代人中，解得，故．4．答案 D命题意图 本题考查平面向量的数量积及其应用．解析 依题意，，故，则．5．答案 C命题意图 本题考查空间线面的位置关系．解析 作出图形如图所示，连接BD，因为，，所以平面平面，故平面，其他三个选项易知是错误的．6．答案 B命题意图 本题考查对数的运算、数学文化．解析 因为，，故，，则，则，而，故，故选B．7．答案 C命题意图 本题考查双曲线的定义与性质．解析 由题可知点A在双曲线的下支上，故直线l与曲线C有交点．而曲线C的渐近线为，直线，故，即．8．答案 B命题意图 本题考查基本不等式．解析 依题意，．而，当且仅当，即，时前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为．9．答案 B命题意图 本题考查函数的图象与性质．解析 当时，，故在上单调递减．又为奇函数，故在上单调递减．而，则，故．10．答案 C命题意图 本题考查余弦定理、三角形的面积公式．解析 由余弦定理可得，即①，又，即②，①代人②可得，整理可得，则，此时，由余弦定理可得．11．答案 D命题意图 本题考查利用导数研究函数的性质．解析 依题意，，令，则．令，则．令，则，故当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故，故，则，故实数a的取值范围为．12．答案 A命题意图 本题考查空间几何体的表面积与体积．解析 设正四棱雉的高为h，其外接球的半径为R．因为，解得或．当时，，不符合题意；当时，，所以为等边三角形．取SC的中点E，连接AE，则，且．设平面直线，平面直线，则，．在中，由余弦定理可得，所以．在中，，故，故．在四边形中，，故．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案 0.08命题意图 本题考查频率分布直方图．解析 依题意，，解得．14．答案 （其他符合条件的答案也给分）命题意图 本题考查三角函数的图象与性质．解析 因为与的图象的对称轴相同，所以，故，因为，故15．答案 命题意图 本题考查数学文化．解析 如图，取AC的中点E，因为为直角三角形，故．由于为直角三角形，故，显然，当且仅当O，B，E三点共线时等号成立，故的最大值为．16．答案 命题意图 本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系．解析 圆C的方程可化为．，设，则，化简得，故点A的轨迹是以为圆心、为半径的圆，设该圆的圆心为M，则，故，则实数的取值范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．命题意图 本题考查回归直线方程、古典概型．解析 （Ⅰ）依题意，，，而，，故，，故所求回归直线方程为．（Ⅱ）就业意向为金融行业的2人记为A，B，就业意向为电商行业的3人记为a，b，c．任取3人，所有的情况为（A，B，a），（A，B，b），（A，B，c），（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c），（a，b，c），共10种，其中满足条件的为（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c），（a，b，c），共7种，故所求概率．18．命题意图 本题考查等差数列的通项公式、错位相减法、数列的性质．解析 （Ⅰ）设等差数列的公差为d，则解得，故．（Ⅱ）依题意，，故，则，两式相减可得，解得．故可转化为．令，则，故，即单调递减．注意到，所以满足条件的n的值为1，2．19．命题意图 本题考查空间线面的位置关系、空间几何体的体积．解析 （Ⅰ）因为，，，所以且．而，故四边形为矩形，则．因为平面平面，且平面平面，所以平面．又平面，平面，故且．因为，，，所以，即．而，故平面．（Ⅱ）记点M到平面的距离为h．如图，过点S作，垂足为Q，则平面．因为，故．因为平面，所以．所以，．因为，即，故．20．命题意图 本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题．解析 （Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c（）．依题意，，故①．联立解得，故②．联立①②，解得，，故椭圆C的方程为．（Ⅱ）当直线PR的斜率不存在时，方程为．若直线PR过定点，则该定点在y轴上．当直线PR的斜率存在时，设直线PQ的方程为，联立消去y整理，得．设，，则，，．所以直线PR的方程为．令，得．因为，所以．所以此时直线PR过定点．直线也过点．综上，直线PR经过定点．21．命题意图 本题考查利用导数研究函数的性质．解析 （Ⅰ）由题可知，，则，故当时，，当时，，当时，，故在和上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）依题意，当时，恒成立．令，，则．令，，则．令，，则，故在上单调递增，则，故在上单调递增，则．当时，，此时单调递增，从而，满足题意．当时，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，当且仅当时取等号．所以，从而．又，在上单调递增，故存在唯一的实数，使得，且当时，，单调递减，所以当时，，不合题意，舍去．综上所述，实数a的取值范围为．22．命题意图 本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程、直角坐标方程之间的转化．解析 （Ⅰ）由直线l的参数方程可得直线l的普通方程为，将，代入得，故直线l的极坐标方程为．而曲线，即，则，故曲线C的直角坐标方程为．（Ⅱ）由可得或．因为，所以点，转化为极坐标为．由于点P的极坐标为，故的面积．23．命题意图 本题考查绝对值不等式的求解．解析 （Ⅰ）依题意，．当时，，解得，故；当时，，解得，故；当时，，解得，故．综上所述，不等式的解集为．（Ⅱ）依题意，，当时，取“=”，故．．因为，，使得成立，故，故或，则或，故实数m的取值范围为．