第三讲 圆的方程（教师版）

第三节圆的方程知识框架知识点归纳1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.[常用结论]1.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.3.圆心在任一弦的垂直平分线上.题型归类题型一圆的方程例1(1)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为________________________.答案 (x＋3)2＋(y＋1)2＝1解析 到两直线3x－4y＝0，3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1.))又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________.答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝5解析 法一 设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b－1＝0，,（3－a）2＋b2＝r2，,a2＋（1－b）2＝r2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,r2＝5，))∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法二 设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则M(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2·（－\f(D,2)）＋（－\f(E,2)）－1＝0，,9＋3D＋F＝0，,1＋E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝－3，))∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法三 设A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半径为r，则kAB＝eq\f(1－0,0－3)＝－eq\f(1,3)，AB的中点坐标为(eq\f(3,2)，eq\f(1,2))，∴AB的垂直平分线方程为y－eq\f(1,2)＝3(x－eq\f(3,2))，即3x－y－4＝0.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y－4＝0，,2x＋y－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，))所以M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.感悟提升 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.题型二与圆有关的最值问题角度1 利用几何意义求最值例2已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求x＋y的最大值和最小值；(3)求eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值.解 (1)eq\f(y,x)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，eq\f(y,x)的最大值和最小值就是与该圆有公共点且过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即eq\f(|2k＋3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－2＋eq\f(2\r(3),3)或k＝－2－eq\f(2\r(3),3)，∴eq\f(y,x)的最大值为－2＋eq\f(2\r(3),3)，最小值为－2－eq\f(2\r(3),3).(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即eq\f(|2＋（－3）－t|,\r(2))＝1，解得t＝eq\r(2)－1或t＝－eq\r(2)－1.∴x＋y的最大值为eq\r(2)－1，最小值为－eq\r(2)－1.(3)eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)＝eq\r(（x＋1）2＋（y－2）2)，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1，2)的距离为eq\r(34)，∴eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值为eq\r(34)＋1，最小值为eq\r(34)－1.角度2 利用对称性求最值例3已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.答案 2eq\r(5)解析 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，所以圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝eq\r(5)的圆.设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝－2，))故A′(－4，－2).连接A′C交圆C于Q(图略)，此时，|PA|＋|PQ|取得最小值，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|＝|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq\r(5).角度3 建立函数关系求最值例4(2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值为________.答案 12解析 由题意，知eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，当y＝4时，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12.感悟提升 与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝eq\f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题.(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.(3)求解形如|PM|＋|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.题型三与圆有关的轨迹问题例5如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和2eq\r(6)，高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程.解 (1)设圆心E(0，b)，则C(eq\r(6)，3)，B(3，0).由|EB|＝|EC|，得eq\r(（0－3）2＋（b－0）2)＝eq\r(（0－\r(6)）2＋（b－3）2)，解得b＝1，所以圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.(2)设P(x，y)，由于P是MN中点，由中点坐标公式，得M(2x－5，2y－2)，代入x2＋(y－1)2＝10，化简得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,2)，即线段MN的中点P的轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,2).感悟提升 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.课时训练一、单选题1．圆C：关于直线对称的圆的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据点关于直线对称的性质，结合圆的标准方程进行求解即可.【详解】由圆C：，可知圆心坐标：，半径为，因为点关于直线的对称点为，所以圆C：关于直线对称的圆的方程是，故选：C2．方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】将圆的方程变形为，进而可得，求得实数的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，方程变形为，若其表示圆，则有，解得或，即实数的取值范围为；故选C．【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，其中解答中把圆的一般方程与标准方程，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．圆关于原点对称的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】将圆的方程表示为标准形式求出已知圆的圆心和半径，求出关于原点对称的点的坐标，即可得到对称的圆的标准方程.【详解】圆即的圆心，半径等于，关于原点对称的点的坐标为，故对称圆的方程为，故选：B．【点睛】本题考查求一个圆关于一个点的对称圆的方程的求法，求出圆心关于原点对称点的坐标是解题的关键，属于基础题.4．已知，两点，以线段AB为直径的圆的标准方程是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由中点坐标公式求出的中点坐标即为圆心，再根据两点间的距离公式求出的长即直径，即可求得圆的标