高中数学知识通关宝典

高中数学知识点与公式大全第一章集合与函数概念1.集合1.1集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．(4).常见的数集及其表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集*表示符号NN或NZQR1.2集合间的基本关系性质符号表示空集空集是任何集合的子集A空集是任何非空集合的真子集A（A）相等集合A与集合B所有元素相同A=B子集集合A中的任何一个元素均是集合ABB中的元素真子集合A中的任何一个元素均是集合集B中的元素,且B中至少有一个元素在A中没有1.3集合之间的基本运算符号表示集合表示并集ABx|xA或xB交集ABx|xA且xB补集CUAx|xU且xA【重要提醒】1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1.痧2．ABA∩B＝AA∪B＝BAUBAUBU.3．奇⊆数⇔集：xx⇔2n1,nZxx2n1,nZxx4n1.nZ.4.德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即痧U(AB)=(UA)(UB)；来源：高三答案公众号痧②交集的补集等于补集的并集，即U(AB)=(UA)(UB)．2.函数及其表示2.1函数的相关概念函数两个集设A、B是两个非空数集合A、B对应关按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个系数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法y＝f(x)，x∈A注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(3)构成函数的三要素：函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.2.2函数的三要素（1）．函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.（2）．函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.（3）．函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.k(2)反比例函数y(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，x＋∞)．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，4acb2当a>0时，二次函数的值域为[,)；当a<0时，二次函4a4acb2数的值域为(,].4a求二次函数的值域时，应掌握配方法：b4acb2yax2bxca(x)2.2a4a2.3分段函数分段函数的概念若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．3.函数基本性质3.1函数的单调性单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2定当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数f(x)在区间D上是减函数图象描自左向右看图象是上自左向右看图象是下述升的降的单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．函数的最值前提设函数yfx的定义域为I，如果存在实数M满足（1）对于任意的xI，都（3）对于任意的xI，都条件fxM；fxM；（2）存在x0I，使得fx0M（4）存在x0I，使得fx0M结论M为最大值M为最小值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.函数单调性的常用结论（1）若fx,gx均为区间A上的增(减)函数，则fxgx也是区间A上的增(减)函数；（2）若k0，则kfx与fx的单调性相同；若k0，则kfx与fx单调性相反；微信搜：高三答案公众号1（3）函数yfxfx0在公共定义域内与yfx，y的单f(x)调性相反；（4）函数yfxfx0在公共定义域内与yf(x)的单调性相同；（5）一些重要函数的单调性：1①yx的单调性：在,1和1,上单调递增，在1,0和0,1上x单调递减；bbb②（，）的单调性：在和上单调yaxa0b0,,xaa递增，在b和b上单调递减．,00,aa3.2函数的奇偶性（1）．函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点如果对于函数fx的定义域内任意一图象关于y轴对偶函数个x，都有fxfx，那么函数fx称是偶函数如果对于函数fx的定义域内任意一图象关于原点对奇函数个x，都有fxfx，那么函数称fx是奇函数注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，x也在定义域内（即定义域关于原点对称）．（2）．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（2）f(x)，g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(g(x))偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数（3）若奇函数的定义域包括0，则f00．（4）若函数fx是偶函数，则fxfxfx．（5）定义在,上的任意函数fx都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数yfx的定义域关于原点对称，则fxfx为偶函数，fxfx为奇函数，fxfx为偶函数．重难点复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数；②奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数×××=偶函数；第二章基本初等函数2.1指数与指数函数（1）根式n概念：式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.nn性质：(a)n＝a(a使a有意义)；nna，a≥0，当n为奇数时，an＝a，当n为偶数时，an＝|a|＝－a，a<0.（2）分数指数幂mnm*规定：正数的正分数指数幂的意义是an＝a(a>0，m，n∈N，且m1n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；nnam0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.（3）指数函数及其性质概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.指数函数的图象与性质a>100时，y>1；当x<0时，y>1；性质当x<0时，00时，00，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）对数的性质、换底公式与运算性质logaNb(1)对数的性质：①a＝N；②logaa＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则；如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么M①log(MN)logMlogN；②loglogMlogN；aaaaNaanmm③logMnlogM(nR)；④lognblogb.aaanalogcb(3)换底公式：logab(a，b均大于零且不等于1).logca（3）对数函数及其性质(1)概念：y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>101时，y>0；当x>1时，y<0；当00在(0，＋∞)上是增在(0，＋∞)上是减函数函数2.3幂函数(1)幂函数的定义：一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；微信搜：高三答案公众号③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.第三章函数的应用1.函数零点的定义一般地，如果函数yf(x)在实数处的值等于零，即f()0，则叫做这个函数的零点.重点强调：零点不是点，是一个实数；2.零点存在性定理如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根.3.二分法二分法求零点：对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精度；（2）求区间(a，b)的中点x1；（3）计算f(x1)：①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；②若f(a)·f(x1)<0，则令b=x1（此时零点x0(a,x1)）；③若f(x1)·f(b)<0，则令a=x1（此时零点x0(x1,b)）；（4）判断是否达到精度；即若|ab|，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4.注意：二分法的条件f(a)·f(b)0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.第四章三角函数1.角的概念1．角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的分类正角：按逆时针方向旋转形成的角按旋转方向负角：按顺时针方向旋转形成的角不同分类零角：射线没有旋转象限角：角的终边在第几象限