专题02 函数及其应用、指对幂函数（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年

专题02函数及其应用、指对幂函数易错点一：对函数定义域、值域及解析式理解存在偏差（定义域、值域及解析式的求算）已知函数的具体解析式求定义域的方法法1：若是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.法2：复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.函数解析式的常见求法法1：配凑法：已知，求的问题，往往把右边的整理或配凑成只含的式子，然后用将代换.法2：待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可.法3：换元法：已知，求时，往往可设，从中解出，代入进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围.法4：解方程组法：已知满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如(或)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出．分段函数第一步：求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．第二步：当出现的形式时，应从内到外依次求值．第三步：当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。结论：复合函数：一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作，其中叫做复合函数的外层函数，叫做的内层函数.抽象函数的定义域的求法：(1)若已知函数的定义域为，则复合函数的家义域由求出.(2)若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域.易错提醒：函数的概念①一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合叫做值域，记为.②函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.③函数表示法：函数书写方式为，④函数三要素：定义域、值域、对应法则.⑤同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.基本的函数定义域限制求解函数的定义域应注意：①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数大于或等于零：③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；④零次幂或负指数次幂的底数不为零；⑤三角函数中的正切的定义域是且；⑥已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；=2\*GB3②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；⑦对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.基本初等函数的值域①的值域是.②的值域是：当时，值域为；当时，值域为．③的值域是.④且的值域是.⑤且的值域是.分段函数的应用分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．例．函数的定义域为（    ） B． C． D．变式1：设，若，则（    ）A．14 B．16 C．2 D．6变式2：已知集合，则（    ）A． B． C． D．变式3：已知函数，则下列正确的是（    ）A． B． C． D．的值域为1．已知函数，则（    ）A． B．3 C． D．2．给出下列个函数，其中对于任意均成立的是（    ）A． B．C． D．3．已知函数，则（    ）A． B． C． D．4．已知函数满足，则可能是（    ）．A． B．C． D．5．设集合，，则（    ）A． B． C． D．6．集合，，则（    ）A． B．C． D．易错点二：忽视单调性与单调区间的主次（函数的单调性与最值）1.函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。2.函数在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。3.函数的单调定义中的、有三个特征：（1）任意性（2）有大小（3）属于同一个单调区间。4.求函数的单调区间必须先求定义域。5.判断函数单调性常用以下几种方法：方法1：定义法：一般步骤为设元作差变形判断符号→得出结论.方法2：图象法：如果是以图象形式给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确定单调性.方法3：导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.方法4：性质法：（1）对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及增减性质进行判断；6.求函数最值（值域）的常用方法方法1：单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.方法2：图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.方法3：基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.方法4：导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.结论：1.单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；③定号：判断差的正负或商与的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：结论1：若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；结论2：若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；结论3：若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；结论4：若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．易错提醒：1.函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数的定义域为，区间：如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，符号一致那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，符号相反那么就说在区间上是减函数．=1\*GB3\*MERGEFORMAT①属于定义域内某个区间上；=2\*GB3\*MERGEFORMAT②任意两个自变量，且；=3\*GB3\*MERGEFORMAT③都有或；=4\*GB3\*MERGEFORMAT④图象特征：在单调区间上增函数的图象上坡路，减函数的图象下坡路．（2）单调性与单调区间=1\*GB3\*MERGEFORMAT①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．=2\*GB3\*MERGEFORMAT②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的最值前提：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足条件：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得结论为最大值（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得结论为最小值例．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．变式1．下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（    ）A．B．C．D．变式2．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．变式3．定义在上的函数满足：对，且都有，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．1．已知函数，若对于一切的实数，不等式恒成立，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．2．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．3．已知函数，且，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．4．已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且对任意的，，满足，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．5．已知函数，关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．6．为定义在上的偶函数，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ）A．B． C． D．7．函数，其中，则满足的取值范围是（    ）A． B．C． D．8．已知函数，若，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．9．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（    ）A．B．C．D．10．设函数，则（    ）A．的一个周期为 B．在上单调递增C．在上有最大值 D．图象的一条对称轴为直线11．已知函数，则（    ）A．函数为奇函数B．当时，或1C．若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为D．若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为易错点三：奇偶性的前提及两个函数与一个函数的区别（函数的奇偶性、周期性、对称性）1.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)复合函数的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数：=1\*GB3\*MERGEFORMAT①函数或函数．=2\*GB3\*MERGEFORMAT②函数．=3\*GB3\*MERGEFORMAT③函数或函数=4\*GB3\*MERGEFORMAT④函数或函数．注意：关于=1\*GB3\*MERGEFORMAT①式，可以写成函数或函数．偶函数：=1\*GB3\*MERGEFORMAT①函数．=2\*GB3\*MERGEFORMAT②函数．=3\*GB3\*MERGEFORMAT③函数类型的一切函数．④常数函数2.周期性技巧结论1：若对于非零常数和任意实数，等式恒成立，则是周期函数，且是它的一个周期.证明：也可理解为：平移个单位到谷底，再平移一个单位到巅峰，再平移一个单位又到谷底，则谷底与谷底的距离为，结论2：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.证明：口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究前的正负.结论3：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.证明：先向左平移个单位得令如同结论1结论4：定义在上的函数，对任意的，若有，(或)(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.证明：，结论5:定义在上的函数，对任意的，有且，(其中是常数，)则函数是周期函数，是函数的一个周期.另一种题干出现的信息：①若的图象关于直线都对称，则等价于且，则为周期函数且.②若为偶函数且图象关于直线对称，则为周期函数且证明：向左平移个单位，得，同理，利用口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究前的正负.秒出周期结论6:若定义在上的函数对任意实数，恒有成立()，则是周期函数，且是它的一个周期.证明：由函数，向右平移个单位得口诀：内同号，外异号，内部只差需2倍，出现周期很.结论7:若对于非零常数和任意实数，等式成立，则是周期函数，且是它的一个周期.证明：如同结