专题06 解三角形及应用（3大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考

专题06解三角形及应用易错点一：易忽视三角形解的个数（解三角形多解情况）1．方法技巧：解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．技巧：正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题问题1：已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。问题2：已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。题设三角形中，已知一个角和两个边，判断三角形个数，遵循以下步骤第一步：先画一个角并标上字母第二步：标斜边（非对角边）第三步：画角的高，然后观察（）易错提醒：利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数.例．设的内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（    ）A．若，则B．若，则为钝角三角形C．若，则符合条件的有两个D．若，则为等腰三角形或直角三角形变式1．在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ）A．B．若，且，则为等边三角形C．若，则是等腰三角形D．在中，，则使有两解的的范围是变式2．在中，内角的对边分别为．则下列结论正确的是（    ）A．若，则B．若，则角为钝角C．若均不为直角，则D．若，则唯一确定变式3．在中，角，，所对的边分别是，，，下列叙述正确的是（    ）A．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个B．若，则为钝角三角形C．若，则为等腰三角形D．若不是直角三角形，则1．在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．2．在中，角所对的边为，有如下判断，其中正确的判断是（    ）A．若，则为等腰直角三角形B．若，则C．若，则符合条件的有两个D．在锐角三角形中，不等式恒成立3．在中，角所对的边分别为，以下说法中正确的是（    ）A．若，则B．若，则符合条件的三角形有一个C．若，则为钝角三角形D．若，则直角三角形4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，，，则有两解C．若为钝角三角形，则D．若，则此三角形为等腰三角形5．对于△ABC，有以下判断，其中正确的是（    ）A．若，则△ABC为等腰三角形B．若，则C．若，，，则符合条件的三角形有两个D．若，则△ABC是锐角三角形6．对于，有如下判断，其中正确的判断是（    ）A．若，则为等腰三角形B．若，则C．若，则符合条件的有两个D．若，则是钝角三角形7．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（   ）A．若，则B．若，则C．若，则为等腰三角形D．若，，，则只有一解8．已知的内角的对边分别为则下列说法正确的是（    ）A．若，则有一个解B．若，则有两个解C．若，则为等腰三角形D．若，则为钝角三角形9．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，，，则有两解C．若为钝角三角形，则D．若，，则的面积是310．的内角的对边分别为、，则下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则有两解C．若为钝角三角形，则D．若三角形为斜三角形，则11．对于中，有如下判断，其中正确的判断是（    ）A．若，，，则符合条件的有两个B．若，则为等腰三角形或直角三角形C．若，则的最小值为D．若点在所在平面且，，则点的轨迹经过的外心易错点二：解三角形时，出现类似于sin2A=sin2B易漏解（解三角形问题）《正弦定理》①正弦定理：②变形：③变形：④变形：⑤变形：《余弦定理》①余弦定理：②变形：核心问题：什么情况下角化边?什么情况下边化角?⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角⑵当每一项都有角《》且次数一样时，采用角化边⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题⑷当每一项都有角《》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可三角形面积公式①②其中分别为内切圆半径及的周长推导：将分为三个分别以的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式③（为外接圆的半径）推导：将代入可得将代入可得④⑤海伦公式（其中）推导：根据余弦定理的推论令，整理得正规方法：面积公式+基本不等式①②③易错提醒：当解题过程中出现类似于sin2A=sin2B这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另外当题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”例．对于，有如下命题：①若，则为等腰三角形；②若，则为直角三角形；③若，则为钝角三角形．其中正确命题的序号是（    ）A．①② B．①③ C．③ D．②③变式1．在ΔABC中，已知，那么ΔABC一定是（   ）A．等腰或直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等边三角形变式2．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（    ）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形变式3．在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的个数（    ）（1）若，则（2）若，则一定为等腰三角形（3）若，则一定为直角三角形（4）若，且该三角形有两解，则边的范围是A．1 B．2 C．3 D．41．在中，，则（    ）A．为直角 B．为钝角 C．为直角 D．为钝角2．在中，若，则该三角形的形状一定是（    ）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形3．在中，角、、的对边分别为、、，若，则的形状为（    ）A．正三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（    ）A．等腰三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形5．在中，内角、、的对边分别为、、，，则是（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形6．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则一定是（    ）A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形7．在中，已知，则的形状为（    ）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若则该三角形一定是（    ）A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．在中，角的对边分别为，且满足，则的形状是（    ）.A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形10．在中，若，则这个三角形是（    ）A．底角不等于的等腰三角形 B．锐角不等于的直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形11．的三内角的对边分别为且满足，且，则的形状是（    ）A．等腰三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形易错点三：实际问题中题意不明致误（利用解三角形知识解决实际问题）解三角形的实际应用问题的类型及解题策略1、求距离、高度问题（1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量．（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．2、求角度问题（1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．（2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用．易错提醒：实际问题应用中有关名词、术语也是容易忽视和混淆的。要注意理解仰角、俯角、方向角、方位角、坡度的具体含义例．如图所示，，两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向18km处，的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得，两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为40吨和50吨.  (1)当时，求的值；(2)发电厂尽量远离居民区，也即要求的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站的距离为多少?变式1．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，B，C，D三地位于同一水平面上，这种仪器在B地进行弹射实验，两地相距，，在C地听到弹射声音的时间比D地晚秒，在C地测得该仪器至最高点A处的仰角为．（已知声音的传播速度为），求：  (1)B，C两地间的距离；(2)这种仪器的垂直弹射高度AB．变式2．南京市人民中学创建于1887年，是南京市办学历史最长的中学之一，位于南京市的珠江路南侧，中山路东侧，长江路北侧如图所示的位置.南京人民中学到长江路和中山路十字路口约330米，长江路和中山路夹角约为70.5°，现小王和小张正位于如图所示的位置分别距长江路和中山路十字路口200米，300米，并分别按如图所示的方向散步，速度均为60米/分钟  (1)起初两人直线距离多少米？（参考数据：）；(2)t分钟后两人间直线的距离是多少？（从现位置开始计时到小张到南京市人民中学大门结束）；(3)什么时候两人间的直线距离最短，最短距离时多少？（忽略路宽､等侯红绿灯时间）变式3．如图，某城市有一条从正西方通过市中心后转向东偏北方向的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口在的东偏北的方向（两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于之间相距较远，计划在之间设置一个服务区．  (1)若在的正北方向且，求到市中心的距离和最小时的值；(2)若在市中心的距离为，此时在的平分线与的交点位置，且满足，求到市中心的最大距离．1．某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内）  (1)求两点之间的距离；(2)判断直线与直线是否垂直，并说明理由．2．如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得，测得，，．(1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且，，求A，C两点间距离；(2)求的值．3．某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中，均与水平面垂直.在已测得可直接到达的两点间距离，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，①，，，②，，，③，，，④，，.(1)请同学们指出其中一定能唯一确定，之间的距离的组号；（指出所有满足条件的组号）(2)若已知，，，，，，，请你结合自己在（1）中的选择，从中选出一组利用所给数据，求的值.（若多做，按第一种方案给分）4．如图，某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东40°，在B处测得公路上距B处32km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到达D处，此时B，D间的距离为21km．这个人还要走多少路才能到达A城？  5．如图，某日中午12：00甲船以2