导数不等式证明18种题型归类 (解析版)

2023-11-18 · 53页 · 996.7 K

导数不等式证明18种题型归类目录一、知识梳理与二级结论题型十:三角函数型极值点偏移不等式证明二、热考题型归纳题型十一:三个零点型不等式证明题型一:不等式证明基础题型十二:三个极值点型不等式证明题型二:三角函数型不等式证明题型十三:系数不一致型不等式证明题型三:数列“累加型”不等式证明题型十四:极值构造(利用第一问结论)题型四:双变量构造换元型不等式证明题型十五:先放缩型不等式证明题型五:同构型不等式证明题型十六:切线放缩型不等式证明题型六:双变量“比值代换”型不等式证明题型十七:利用韦达定理置换型不等式证明题型七:凸凹反转型不等式证明题型十八:泰勒展开型不等式证明题型八:极值点偏移型不等式证明三、高考真题对点练题型九:“极值型偏移”不等式证明四、最新模考题组练知识梳理与二级结论1.应用导数证明不等式基础思维:(1)直接构造函数法:证明不等式fx>gx(或fx0(或fx-gx<0),进而构造辅助函数hx=fx-gx;(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.x2.“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧.如:y=e在点0,1处的切线为y=x+1,如图所示,易知xx除切点0,1外,y=e图象上其余所有的点均在y=x+1的上方,故有e≥x+1.该结论可构造函数xfx=e-x-1并求其最小值来证明.显然,我们选择的切点不同,所得的不等式也不同.3.泰勒公式形式:泰勒公式是将一个在x0处具有n阶导数的函数利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法.若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数,则对闭区间[a,b]上任意一点x,成立下式:·1·f(x)f(n)(x)f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+0(x-x)2+⋯+0(x-x)n+R(x)0002!0n!0n(n)其中:f(x0)表示f(x)在x=x0处的n阶导数,等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式,剩n余的R(n)(x)是泰勒公式的余项,是(x-x0)的高阶无穷小量.4.常见函数的泰勒展开式:23nn+1xxxxxxθx(1)e=1++++⋯++e,其中0<θ<1;1!2!3!n!n+1!23nn+1n+1xxn-1xnx1(2)ln1+x=x-+-⋯+-1+Rn,其中Rn=-1;2!3!n!n+1!1+θx352k-12k+1xxk-1xkx(3)sinx=x-+-⋯+-1+Rn,其中Rn=-1cosθx;3!5!2k-1!2k+1!242k-22kxxk-1xkx(4)cosx=1-+-⋯+-1+Rn,其中Rn=-1cosθx;2!4!2k-2!2k!12nn(5)=1+x+x+⋯+x+o(x);1-xn(n-1)(6)(1+x)n=1+nx+x2+o(x2);2!3x252n(7)tanx=x++x+⋅⋅⋅+ox;31511213n(8)1+x=1+x-x+x+⋅⋅⋅+ox.28165.麦克劳林(Maclaurin)公式f(0)f(n)(0)f(x)=f(0)+f(0)x+x2+⋯+xn+R(x)2!n!n虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式,仅仅是取x0=0的特殊结果,由于麦克劳林公式使用方便,在高考中经常会涉及到.6.常见函数的麦克劳林展开式:2nθxxxxen+1(1)e=1+x++⋯++x2!n!(n+1)!352n+1xxnx2n+2(2)sinx=x-+-⋯+(-1)+o(x)3!5!(2n+1)!2462nxxxnx2n(3)cosx=1-+-+⋯+(-1)+o(x)2!4!6!(2n)!23n+1xxnxn+1(4)ln(1+x)=x-+-⋯+(-1)+o(x)23n+112nn(5)=1+x+x+⋯+x+o(x)1-xn(n-1)(6)(1+x)n=1+nx+x2+o(x2)2!7.两个超越不等式:(注意解答题需先证明后使用)x-1(1)、对数型超越放缩:≤lnx≤x-1(x>0)x·2·x1(2)、指数型超越放缩:x+1≤e≤(x<1)1-x8.极值点偏移问题的一般题设形式:(1)若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2,求证:x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点);(2)若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点);x+x(3)若函数f(x)存在两个零点x,x且x≠x,令x=12,求证:f'(x)>0;1212020x+x(4)若函数f(x)中存在x,x且x≠x满足f(x)=f(x),令x=12,求证:f'(x)>0.121212020热点考题归纳题型一:不等式证明基础1已知函数fx=xlnx.(1)求曲线y=f(x)在点1,f1处的切线方程;2(2)求证:fx解析【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可;(2)首先将题意转化为证明lnx-x-1<0,令gx=lnx-x-1,利用导数求出函数的最大值即可证明.【详解】(1)f1=0,所以切点为1,0.fx=lnx+1,k=f1=ln1+1=1,所以切线为y=x-1.22(2)要证fx0.令gx==0,解得x=1.所以x∈0,1,xxxgx>0,gx为增函数,x∈1,+∞,gx<0,gx为减函数.所以gxmax=g1=-2<0,2所以lnx-x-1<0恒成立,即证fx0.【答案】(1)a=2;(2)证明见解析.【分析】(1)求出函数的导函数,再代入计算可得;·3·2x2x-12lnx(2)依题意即证fx=x-2xe+2ex-elnx>0,即x-2e+>,构造函数gx=exx-22lnxx-2e+,hx=,利用导数说明其单调性与最值,即可得到gx>hx,从而得证;ex22x22xe【详解】解:(1)因为fx=x-2xe+aex-elnx,所以fx=x-2e+ae-,x223e3ef2=+ae=+2e,解得a=2.222x2(2)由(1)可得fx=x-2xe+2ex-elnx2x2x-12lnx即证fx=x-2xe+2ex-elnx>0⇔x-2e+>.exx-22x-2令gx=x-2e+,gx=x-1e,于是gx在0,1上是减函数,在1,+∞上是增函数,所e1lnx1-lnx以gx≥g1=(x=1取等号).又令hx=,则hx=,于是hx在0,e上是增函exx21数,在e,+∞上是减函数,所以hx≤he=(x=e时取等号).所以gx>hx,即fx>0.e2已知函数f(x)=lnx+x2-ax.(1)若函数f(x)在定义域内为增函数,求实数a的取值范围;(2)若a=0且x∈(0,1),求证:x⋅[1+x2-f(x)]<(1+x-x3)⋅ex.【答案】(1)(-∞,22];(2)证明见解析.【分析】(1)函数f(x)在定义域内为增函数,则f(x)≥0恒成立,分离参变量,利用基本不等式得出最值,可得实数a的取值范围;(2)要证x⋅[1+x2-f(x)]<(1+x-x3)⋅ex,即证:x⋅(1-lnx)<(1+x-x3)⋅ex,构造g(x)=x⋅(1-lnx),h(x)=(1+x-x3)⋅ex,分别利用导数判断出单调性和最值,即可得原命题成立.1【详解】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=+2x-a,又f(x)在定义域内为增函数,  x11则f(x)≥0恒成立,即a≤+2x恒成立,即a≤+2x,              xxmin12又当x>0时,+2x≥22,当且仅当x=时等号成立,∴a≤22,x2即实数a的取值范围是(-∞,22];                                        (2)∵a=0,则f(x)=lnx+x2,要证x⋅[1+x2-f(x)]<(1+x-x3)⋅ex,即证:x⋅(1-lnx)<(1+x-x3)⋅ex,                                       设g(x)=x⋅(1-lnx),其中x∈(0,1),则g(x)=-lnx,当x∈(0,1)时g(x)>0,故g(x)在(0,1)为增函数,∴g(x)x3,1+x-x3>1,又11,则g(x)<10.ex-1·4·π【答案】(1)函数fx在0,上单调递增;(2)函数fx有三个零点,理由见解析;(3)证明见解析.2【分析】(1)利用导数判断函数的单调性;322(2)令fx=x-xcosx=0,所以x=0或x=cosx,再利用导数研究函数g(x)=x-cosx的零点即得解;2x(3)即证x-cosx>-2,再求两边函数的最值即得解.ex-11sinxcosxπ【详解】(1)n=-1时,fx=x-cosx,∴f(x)=1++>0在0,上恒成立,所以函数xxx22πfx在0,上单调递增.23322(2)n=1时,fx=x-xcosx,令fx=x-xcosx=0,所以x=0或x=cosx.令g(x)=x-cosx,∴g(x)=2x+sinx,因为g(-x)=x2-cosx=g(x),所以函数g(x)是偶函数.不妨研究x≥0函数g(x)的单调性.当x∈[0,π]时,g(x)=2x+sinx≥0,所以函数g(x)单调递增,所以g(x)=x2-cosx≥g(0)=-1,因为g(2)=4-cos2>0,所以函数g(x)在(0,π]内有一个零点;当x∈(π,+∞)时,设h(x)=2x+sinx,∴h(x)=2+cosx>0,所以函数h(x)单调递增,所以函数g(x)=2x+sinx单调递增.所以g(x)=x2-cosx≥g(π)=π2+1>0,所以函数g(x)在(π,+∞)内没有零点.根据函数的奇偶性得函数fx有三个零点.综上所述,函数fx有三个零点.22x2x2(3)n=0时,fx=x-cosx,即证x-cosx+2->0.即证x-cosx>-2.由

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