利用均值不等式求圆锥曲线中的最值（学生版）

利用均值不等式求圆锥曲线中的最值一、考情分析与圆锥曲线有关的最值问题,在高考中常以解答题形式考查，且难度较大，它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐，其中利用均值不等式求圆锥曲线中的最值是一类常见问题，求解时常涉及函数与方程、化归转化等数学思想．二、解题秘籍(一)利用均值不等式求圆锥曲线中最值的方法与策略利用均值不等式求圆锥曲线中的最值，一是直接根据圆锥曲线中的和(积)为定值的性质求积(和)的最大(小)值，如根据椭圆中PF1+PF2为定值，可求PF1PF2的最大值，二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用基本不等式求最值，求解这类问题的核心是建立参数之间的等量关系.x2y2【例1】(2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考)设椭圆Γ：+=1a>b>0，F，F是椭圆Γ的a2b2123左、右焦点，点A1,在椭圆Γ上，点P4,0在椭圆Γ外，且PF=4-3．22(1)求椭圆Γ的方程；3(2)若B1,-，点C为椭圆Γ上横坐标大于1的一点，过点C的直线l与椭圆有且仅有一个交点，并与222直线PA，PB交于M，N两点，O为坐标原点，记△OMN，△PMN的面积分别为S1，S2，求S1-S1S2+S2的最小值．y2x23【例2】已知椭圆C：+=1a>b>0的离心率为，且过点1,2.a2b22(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l被圆x2+y2=a2截得的弦长为26，设直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值.(二)把距离或长度用单变量表示，然后利用均值不等式求最值.此类问题通常利用两点间距离或弦长公式，把距离或长度表示成关于直线斜率、截距或点的横坐标(纵坐标)的函数，然后利用均值不等式求最值.【例3】已知圆C过定点A(0，p)(p>0)，圆心C在抛物线x2=2py上运动，若MN为圆C在x轴上截得的弦，设|AM|=m，|AN|=n，∠MAN=θ.(1)当点C运动时，|MN|是否变化？试证明你的结论；mn(2)求+的最大值.nm(三)把面积表示为单变量函数，然后利用基本不等式求值该类问题求解的基本思路是把三角形面积表示成关于直线斜率与截距的函数，然后利用均值不等式求最值.x2y2【例4】(2022届陕西省汉中市高三上学期质量检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左，右焦点分别为a2b2F1(-3,0),F2(3,0)且经过点P(3,2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)(四)把面积用双变量表示，然后利用均值不等式求最值求解该类问题通常先建立两个变量之间的等量关系，然后利用和或积为定值，借助均值不等式求最值.x2y232【例5】(2022届湖南省长沙市高三上学期11月月考)已知椭圆+=1的离心率为e=，Q2,a2b222为椭圆上一点.直线l不经过原点O，且与椭圆交于Ax1,y1,Bx2,y2两点.(1)求椭圆的方程；(2)求△OAB面积的最大值，并求当△OAB面积最大时AB的取值范围.(五)与斜率有关的最值问题与斜率有关的最值问题的思路一是设出动点.是利用斜率定义表示出斜率，然后利用函数或不等式知识求解，二是设出直线的点斜式或斜截式方程，利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式或不等式求解.【例6】(2022届福建省福州第十八中学高三上学期考试)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2．(1)求C的方程；(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ=9QF，求直线OQ斜率的最大值．(六)与数量积有关的最值问题求解与数量积有关的最值问题，通常利用数量积的定义或坐标运算，把数量积表示成某个变量的函数，然后再利用均值不等式求最值.x2y2【例7】设椭圆+=1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C，曲线C的两条切线PA、PB交于点P，且54与C分别切于A、B两点，求PA⋅PB的最小值．三、跟踪检测451.(2023届山东省青岛市高三上学期检测)在平面直角坐标系Oxy中，动圆P与圆C:x2+y2+2x-=0143内切，且与圆C:x2+y2-2x+=0外切，记动圆P的圆心的轨迹为E.24(1)求轨迹E的方程；(2)不过圆心C2且与x轴垂直的直线交轨迹E于A,M两个不同的点，连接AC2交轨迹E于点B.(i)若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；(ii)若过圆心C1的直线交轨迹E于D,G两个不同的点，且AB⊥DG，求四边形ADBG面积的最小值.x2y2312.已知椭圆+=1(a>b>0)经过点3,-，且椭圆的离心率e=，过椭圆的右焦点F作两条a2b222互相垂直的直线，分别交椭圆于点A,B及C、D．(1)求椭圆的方程；11(2)求证：+为定值；|AB||CD|9(3)求|AB|+|CD|的最小值．161x2y23.(2023届四川省隆昌市第一中学高三上学期考试)已知离心率为的椭圆C:+=1a>b>0过21a2b23点1,，抛物线C:y2=2pxp>0．22(1)若抛物线C2的焦点恰为椭圆C1的右顶点，求抛物线方程；(2)若椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为A，过A但不经过原点的直线l交椭圆C1于B，交抛物线C2于M，且AM=MB，求p的最大值，并求出此时直线l的斜率．x2y24.平面直角坐标系中，椭圆+=1(a>b>0)的焦距为26，过焦点的最短弦长为2.a2b2(1)求椭圆的标准方程；1(2)斜率为的直线与椭圆交于A,B两点，P为椭圆上异于A,B的点，求△PAB的面积的最大值.25.平面直角坐标系中，过点(1,0)的圆C与直线x=-1相切．圆心C的轨迹记为曲线Γ．(1)求曲线Γ的方程；(2)设A,B为曲线Γ上的两点，记AB中点为M，过M作AB的垂线交x轴于N．①求xN-xM；②当AB=10时，求xN的最大值．x26.已知点F、F分别为椭圆Γ:+y2=1的左､右焦点，直线l:y=kx+t与椭圆Γ有且仅有一个公共点，直122线F1M⊥l,F2N⊥l，垂足分别为点M、N.(1)求证：t2=2k2+1；(2)求证：F1M⋅F2N为定值，并求出该定值；(3)求OM+ON⋅OM-ON的最大值.x2y27.(2022届广东省佛山市高三上学期12月模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:+=1(a>b>0)a2b22的离心率e=，且点P2,1在椭圆C上.2(1)求椭圆C的方程;(2)若点A,B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP(不包括端点)上.求△AOB面积的最大值.x2y28.(2022届衡水金卷高三一轮复习摸底测试)已知椭圆Γ:+=1a>b>0的上顶点为B0,1，过点a2b2232,0且与x轴垂直的直线被截得的线段长为.3(1)求椭圆Γ的标准方程﹔(2)设直线l1交椭圆Γ于异于点B的P,Q两点，以PQ为直径的圆经过点B,线段PQ的中垂线l2与x轴的交点为(x0,0)，求x0的取值范围.9.(2022届河北省高三上学期12月教学质量监测)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1-1,0，F21,0，点P满足PF1+PF2=22，点P的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)不过F1的直线l与C交于A､B两点，若直线l的斜率是直线AF1､BF1斜率的等差中项，直线AB和线段AB的垂直平分线与y轴分别交于P､Q，求PQ的最小值.222210.已知两圆C1:(x-2)+y=54,C2:(x+2)+y=6，动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)过点A3,0的直线与曲线C交于P,Q两点.P关于x轴的对称点为R，求△ARQ面积的最大值.x2211.已知椭圆C：+y2=1(a>0)的离心率为，分别过左、右焦点F，F作两条平行直线l和l.a221212(1)求l1和l2之间距离的最大值；(2)设l1与C的一个交点为A，l2与C的一个交点为B，且A，B位于x轴同侧，求四边形AF1F2B面积的最大值.x2y23112.(2022届广西玉林市、贵港市高三12月模拟)设椭圆E:+=1(a>b>0)过M1,，N3,a2b222两点，O为坐标原点．(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．13.(2022届上海市青浦区高三一模)已知抛物线y2=x.(1)过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求OA∙OB的值(其中O为坐标原点)；(2)过抛物线上一点Cx0,y0，分别作两条直线交抛物线于另外两点Pxp,yp､QxQ,yQ，交直线x=-1于A1-1,1､B1-1,-1两点，求证：yp⋅yQ为常数(3)已知点D1,1，在抛物线上是否存在异于点D的两个不同点M､N，使得DM⏊MN?若存在，求N点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.