2022年全国甲卷文科数学高考试卷(原卷+答案)

©巨门信息2022绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）（适用地区:云南、四川、广西、贵州、西藏）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.51.设集合ABxx={−−=2,1,0,1,2},0∣，则AB=（）2A.0,1,2B.{2,1,0}−−C.{0,1}D.{1,2}2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3.若z=+1i．则|i3|zz+=（）A.45B.42C.25D.224.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）1/14©巨门信息2022A.8B.12C.16D.20ππ5.将函数f(x)=sinx+(0)的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则32的最小值是（）1111A.B.C.D.64326.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）122A.B.C.D.553ππ7.函数yx=−(33cosxx−)在区间−,的图象大致为（）22A.B.C.D.b8.当x=1时，函数fxax()ln=+取得最大值−2，则f(2)=（）x1A.−1B.−C.D.129.在长方体ABCDA−B1111CD中，已知BD1与平面ABCD和平面AA11BB所成的角均为30°，则（）A.ABAD=2B.AB与平面AB11CD所成的角为C.ACCB=1D.与平面BB11CC所成的角为4510.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲S甲V甲和V乙．若=2，则=（）S乙V乙510A.5B.22C.10D.4xy2211.已知椭圆Ca:1(0)b+=的离心率为，AA12,分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若ab22BA12BA=−1，则C的方程为（）xy22xy22xy22x2A.+=1B.+=1C.+=1D.+=y2118169832212.已知9m=10,ab=10m−11,=8m−9，则（）A.ab0B.ab0C.ba0D.ba02/14©巨门信息2022二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量ambm==+(,3),(1,1)．若ab⊥，则m=________________________．14.设点M在直线210xy+−=上，点(3,0)和(0,1)均在⊙푀上，则⊙푀的方程为___________________．xy2215.记双曲线C:−=1(a0,b0)的离心率为e，写出满足条件“直线yx=2与C无公共点”的e的一个值ab22________________________．AC16.已知△퐴퐵퐶中，点D在边BC上，===ADBADCDBD120,2,2．当取得最小值时，BD=AB____________________________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？n()adbc−2附：K2=，()()()()abcdacbd++++2P(K…k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.6352S18.记S为数列a的前n项和．已知n+na=+21．nnnn（1）证明：是等差数列；（2）若a479,,aa成等比数列，求的最小值．3/14©巨门信息202219.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△퐸퐴퐵,△퐹퐵퐶,△퐺퐶퐷,△퐻퐷퐴△퐸퐴퐵,△퐹퐵퐶,△퐺퐶퐷,△퐻퐷퐴均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．（1）证明：EF//平面；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．3220.已知函数f(xxx),=−=+g()xxa，曲线yfx=()在点(xfx11,())处的切线也是曲线ygx=()的切线．（1）若x1=−1，求a；（2）求a的取值范围．21.设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F，点Dp(,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，MF=3．（1）求C的方程；（2）设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为,．当−取得最大值时，求直线AB的方程．4/14©巨门信息2022（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]2+t2+sx=x=−22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为6（t为参数），曲线C2的参数方程为6（syt=ys=−为参数）．（1）写出的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cossin0−=，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23.已知a，b，c均为正数，且abc222++=43，证明：（1）a+b+23c；11（2）若bc=2，则+3．ac5/14©巨门信息2022参考答案1.【答案】A【解析】5【详解】因为A=−−2,1,0,1,2，Bxx=∣0，所以AB=0,1,2．2故选：A.2.【答案】B【解析】70%75%+【详解】讲座前中位数为70%,所以A错；2讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%80%20%−=，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%−60%=35%20%,所以D错.故选:B.3.【答案】D【解析】【详解】因为z=+1i，所以i3izz+=++−=−1i31(i22i)()，所以i34422zz+=+=．故选：D.4.【答案】B【解析】【详解】由三视图还原几何体，如图，24+则该直四棱柱的体积V==2212.2故选：B.5.【答案】C【解析】【详解】由题意知：曲线C为yxx=+sinsin()+=++，又关于y轴对称，则2323+=+kk,Z，23211解得=+2,kkZ，又0，故当k=0时，的最小值为.33故选：C.6.【答案】C【解析】【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1,2),1,3(),1,4(),1,5(),1,6(),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15种情况，6/14©巨门信息202262其中数字之积为4的倍数的有(1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,6)()()()()()6种情况，故概率为=.155故选：C.7.【答案】A【解析】【详解】令f(xx)=−x(33cosxx−−,,)，22则fxxxf(−=−−=)x(33cos33cos−−=−−xxxx−)()()()，所以fx()为奇函数，排除BD；xx−又当x0,时，330,cos0−x，所以fx()0，排除C.2故选：A.8.【答案】B【解析】ab【详解】因为函数定义域为(0,+)，所以依题可知，f12=-，f(10)=，而fx()=−，所()xx222以bab=−−=2,0，即ab=−=2−,2，所以fx()=−+，因此函数在(0,1)上递增，在(1,+)xx211上递减，x=1时取最大值，满足题意，即有f(21)=−+=−．22故选：B.9.【答案】D【解析】【详解】如图所示：不妨设AB=a,,AD=bAA1=c，依题以及长方体的结构特征可知，BD1与平面ABCD所成角为BDB1，cb与平面AABB所成角为DBA，所以sin30==，即，222，解111bc=B1Dcabc==++2BDBD11得ac=2．对于A，AB=a，AD=b，AB=2AD，A错误；对于B，过B作BE⊥AB1于E，易知BE⊥平面AB11CD，所以AB与平面所成角为BAE，因为c2tanBAE==，所以BAE30，B错误；a2对于C，22，22，ACCB，C错误；AC=a+b=3cCBb1=+=cc21CDa2对于D，与平面BB11CC所成角为DB1C，sinDB1C===，而0DB1C90，所以B1D22c=DB1C45．D正确．故选：D．7/14©巨门信息202210.【答案】C【解析】【详解】解：设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，S甲rlr则===112，Sr乙lr22所以rr12=2，22rr又12+=2，llrr+则12=1，l21所以rlrl==,，123345所以甲圆锥的高hlll=−=22，193122乙圆锥的高hlll=−=22，293145rhll22V11所以甲===39310.1V乙21222rh22ll393故选：C.11.【答案】B22cb1b8228【详解】解：因为离心率e==−=1，解得=，ba=，aa23a299AA12,分别为C的左右顶点，则AaAa12(−,0),,0()，B为上顶点，所以Bb(0,).所以BA12=(−a,−b),BA=(a,−b)，因为BA12=BA−1所以−+=ab22−1，将代入，解得ab22==9,8，xy22故椭圆的方程为+=1.98故选：B.12.【答案】A22mlg10lg9+lg11lg992【详解】由910=可得m=log910=1，而lg9lg11=1=(lg10)，所以lg922lg10lg11，即mlg11，所以a=10m−1110lg11−11=0．lg9lg1022lg8+lg10lg802lg9lg10又，所以，即，lg8lg10=(lg9)log89m22lg8lg9所以b=8m−98log89−9=0．综上，ab0．故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.313.【答案】−=−0.7548/14©巨门信息202233【详解】由题意知：ab=m+3(m+1)=0，解得m=−.故答案为：−.4414.【答案】(1)(1)5xy−++=22【详解】解：∵点M在直线2xy+−1=0上，∴设点M为(,12)aa−，又因为点(3,0)