数学参考答案

数学试卷参考答案选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678BCCADBDB8.如下图所示：因为，所以，所以，所以，又因为，所以，即，又，所以，所以或，所以，所以，所以，又因为，，，所以的周长为：，故选：B.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9101112BDACDBCDABD11.，，故A错误；，故B正确；若，则，故，C正确；，D正确．12．对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数，∴时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，∴是的极小值点，故A正确；对于B选项，若，可得，令，则，令，则，∴在上，，函数单调递增，上，，函数单调递减，∴，∴，∴在上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数，使得成立，故B正确；对于C选项，，∴，∴函数在上单调递减，又∵，，∴函数有且只有1个零点，故C错误；对于D选项，由，结合A选项可知，要证，即证，且，由函数在是单调递增函数，所以有，由于，所以，即证明，令，则，所以在是单调递减函数，所以，即成立，故成立，所以D正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．14．1015．16．2，16．设四棱锥的高为h，则＝，V′＝2（1+h）（1﹣h），当h＝1时，V最大，此时底面ABCD的边长为2，设球半径为R，则2+（R﹣1）2＝R2，解得R＝，∴球O的表面积为S＝4π×（）2＝9π．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）由2acsin2B=3(a2+c2−b2)得sin2B=3(a2+b2−c2)2ac…………………1分2sinBcosB=3cosB………………………………………………………2分sinB=32或cosB=0………………………………………………………3分所以B=π3或π2或2π3……………………………………………………………5分（2）由为锐角三角形，B=π3，根据正弦定理所以a+2c=bsinB(sinA+2sinC)=2sinA+4sin(A+π3)…………………………7分所以a+2c=4sinA+23cosA=27sin(A+θ)………………………………9分其中θ为锐角，tanθ=32.所以a+2c的最大值为27………………………………………………………10分18．（1）由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，获三等奖的16人，共30人，则70人没有获奖………………………………………1分所以从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，这2名学生恰有一名学生获奖的概为…………………………………………………………5分.（2）该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布，所以所以，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生成绩在64分以上的概率为…………………………………………………………………………………6分所以随机变量…………………………………………………………7分所以（，1，2，3，4），所以，，，，，所以的分布列为01234P…………………………………………………………………………………………11分所以………………………………………………………………12分19．（1）Sn=(1+an)24,Sn+1=(1+an+1)24,两式相减4an+1=(1+an+1)2−(1+an)2………………………………………………2分化简得an+12−an2=2(an+1+an)……………………………………………3分又an>0,所以an+1−an=2,所以数列为等差数列………………………………4分在Sn=1+an2中令n=1得a1=1……………………………………………5分因此数列的通项公式为an=2n−1……………………………………6分（2）由sin2nπ3的周期为3……………………………………………………………………7分b3k−2+b3k−1+b3k=32(6k−5)−32(6k−3)+0=−3……………………………10分(k=1,2,⋯⋯33)因此T99=(b1+b2+b3)+(b4+b5+b6)+⋯⋯+(b97+b98+b99)=−333………12分20．（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=BC=1，故梯形ABCD为等腰梯形，因为，则，所以又因为，则，∴AC⊥BC……………………………………………………………………2分因为CF⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥CF  …………………………………………………………………………………3分      ∵，  ∴AC⊥平面BCF……………………………………………………4分因为四边形ACFE为矩形，AC∥EF，则EF⊥平面BCF………………………………5分EF在平面EFD内因此，平面EFD⊥平面BCF………………………………………………………………6分（2）因为CF⊥平面ABCD，AC⊥BC，以点C为坐标原点，CA、CB、CF所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，在Rt△ABC中，则A(，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、F(0，0，1)、E(，0，1)，设点M(t，0，1)，其中………………………………………………7分设平面MAB的法向量为，由，取，可得………………8分易知平面FCB的一个法向量为=34……………………………………………10分所以，t=33，即点M在到E的距离为33的位置………………………………12分21．由题意，故椭圆方…………………………………1分设为椭圆上的一动点，由于圆在椭圆内部，则恒成立，即对任意恒成立，令，则，则.………………………………………………………………………………5分（2）思路一：设，，，（由（1）斜率都存在）由于两直线均与圆C相切，则，则为方程的两根，由韦达定理可知……………………………………8分思路一：设，由韦达定理可知，由.则.故过定点.思路二（曲线系）：设，则椭圆可设为，注意，二元二次式含项的系数为0，项的系数与项的系数之比为.则则方程为，故过定点.22．（1）注意，，则.令.当时，i：时，ii：时，，此时无解.故当时，在，上单点递减，在上单调递增当时，i：时，，此时无解ii：时，，故当时，在，上单点递减，在上单调递增.（2），有三个零点，令，为奇函数.当时，，，令，故在上单调递增，单调递减，结合的对称性，图象如下图：又，有三零点，则.由于，只需证明：.由于则有.则.