高三理科数学入学考试参考答案

高三理科数学入学考试卷答案题123456789101112总分号答ＢDDBDＡBＢABDB案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）13.514.-2115.316.0,e429()a1qa1q*17.【解析】（1）对于数列{}a，(aq0,nN)nn1n1n12(a1qa1q)5a1qaq1a2即注意到为递增数列则1∴n1{}anan2q或2q22对于数列，由得相减得{}bnbnbn14Sn1bn1bn4Sn11bn(bn1bn1)4bn又∵∴为定值bn0bn1bn14∴数列和都是以4为公差的等差数列{}b2n1{}b2n又∵∴在中令得b11bnbn14Sn1n1b23∴，∴n，b2n11(n1)42(2n1)1b2n3(n1)42(2n)1an2bn2n1（2）由（1）得23nTn123252(2n1)2∴23nn12Tn1232(2n3)2(2n1)2∴23nn1Tn12222222(2n1)223(12n1)2(2n1)2n1(2n3)2n161218.【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，得:成绩在[120，130）的频率为1﹣（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=1﹣0.88=0.12；…………………2分所以估计该校全体学生的数学平均成绩为85×0.1+95×0.24+105×0.3+115×0.16+125×0.12+135×0.08=8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107，所以该校的数学平均成绩为107；…………………4分（Ⅱ）根据频率分布直方图得，1学科网（北京）股份有限公司这50人中成绩在130分以上（包括130分）的有0.08×50=4人，而在120,140的学生共有0.12500.085010,…………………5分所以X的可能取值为0、1、2、3，…………………6分所以P（X=0）===，P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===；…………10分所以X的分布列为数学期望值为EX=0×+1×+2×+3×=1.2．…………………12分19.【解析】由平面ABCD平面BCEG，平面ABCD平面BCEGBC,CEBC,CE平面BCEG,EC平面ABCD.………2分根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得BDEAG(0,2,0），(20,0，），(002，，），(2,1,0)(0,2,1)………….3分（Ⅰ）设平面BDE的法向量为m(,,)xyz，则EB(0,2,2),ED(2,0,2)yz0EBm0EDm0即，xyz，xz0平面BDE的一个法向量为m(1,1，,1)………………………………………………..5分AG(2,1,1)AGm2110，AGm，AG平面BDE，∴AG∥平面BDE.……………………………………………….7分（Ⅱ）设平面BAG的法向量为nx,y,z，平面BDE和平面BAG所成锐二面角为……….8分2xy0因为BA2,1,0,BG0,0,1,由nBA0,nBG0得，…….10分z0mn1215平面BAG的一个法向量为n1,2,0，cos.mn35515故平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值为……….12分532220.【解析】（Ⅰ）依题意可知a2.ec3,bac1.22学科网（北京）股份有限公司2x2所以椭圆的方程为:y1…………………4分4（Ⅱ）方法一设直线的方程为()yk1x2,直线的方程为分NA2yk2x2.………………5yk1x22222联立方程组x24k1x16kx16k40.…………………7分y21111428k24k解得点的坐标为11MM2,24k114k118k224k同理,可解得点的坐标为22………9分NN2,2.4k214k214k4k124k214k21由三点共线得12化简有M,D,N,22,28k18k2221214k114k21分4k1k21k23k10.……………11已知同号所以故存在使得成立分k1,k2,k23k1.3,.…………………1233(方法二)当直线l垂直于x轴时,M,N点的坐标分别为M1,,N1,.所以此时直线与2233的斜率分别为k,k.有k3k.…………………6分162221由此猜想:存在3满足条件.下面证明猜想正确.当直线不垂直于轴时设直线的方程为又设lx,lykx1,Mx1,y1,Nx2,y2.ykx12222联立方程组x24k1x8kx4k40…………………8分y2148k24k24yy12x1x22,x1x22k1,k24k14k1x12x22y23y1kx21x123kx11x22k23k1x22x12x12x223学科网（北京）股份有限公司2xx5xx8k1212x12x224k248k225822222k8k840k32k84k14k1……11分k20x12x224k1x12x22由此可得猜想正确故存在使得成立分k23k1..3,.…………………12a2x22xa21．21.解：（1）由题意知f(x)2x0在区间[1,)内恒成立x1x1即a2x22x在区间[1,)内恒成立，解得a42x22x42(x2)(x1)当a4时，f()x0，当x[1,)时，f(x)≥0，x1x1且仅当x1时，f(x)0，所以函数f()x单调递增，所以a的取值范围是[4,)22x2xa2（2）函数f()x的定义域为(1,)，f()x，即g(x)2x2xa，x148a01则有g(1)a0，解得0a2112112a1证法一：因为xx1,2x22xa0,x,x0，122222222f(x)x2(2x22x)ln(x1)所以2=2222，令x11x2x2(2x22x)ln(x1)1k()x,x,01x2x22x26x2则k(x)2ln(x1),k(x)，因为k(x)4,k(0)2，(x1)2(x1)31所以存在，使得，列表如下：x0,0k(x)021x,x0x0(x0,0)2k()x－0＋11又k(0)0,k12ln20，所以k(x)0,x,0，224学科网（北京）股份有限公司11所以函数k()x在,0内为减函数，所以k(0)k(x)k，即22f()x102ln2．x12证法二：因为是方程2的解，所以2．x22x2xa0a2x22x21112a1因为0a,xx0,x，所以x0．21222222f()x先证2，因为，即证，0x1x20f(x2)0x1在区间内，，在区间内，，(,)x1x2f(x)0(x2,0)f(x)0f()x所以为极小值，，即，所以2成立．（分）f()x2f(x2)f(0)0f(x2)008x1f()x111再证2，即证．ln2f()x2ln2(1x2)ln2(x21)x12222211令g(x)x(2x2x)ln(x1)ln2(x1),x,0（10分）2211则g(x)2(2x1)ln(x1)ln2，因为ln(x1)0,2x10,ln20，221所以g(x)0，函数g()x在区间,0内为增函数，21111111所以，所以成立．g()xglnln20f(x2)ln2(x21)2422422f()x1得02ln2成立．（12分）x1222.（1）曲线C:(x2)2y24即x2y24x即24cos即0或4cos由于曲线4cos过极点∴曲线C的极坐标方程为4cos直线l:(x1)sinycos即xsinycossin0即cossinsincossin0即sin()sin直线l的极坐标方程为sin()sin（2）由题得Q(1,0)设M为线段AB的中点，圆心到直线l的距离为d(0,2)5学科网（北京）股份有限公司则|QA||QB|2|QM|232d2它在d(0,2)时是减函数∴|QA||QB|的取值范围(25,6)1(2x1)[(x2)]x2123.解：（1）∵f(x)(2x1)[(x2)]x22(2x1)(x2)x21x3x213x1x22x3x2∴f()x的图像如图12x3x211（2）由（Ⅰ）得∴当时，f(x)x2x1x2x[f(x)x]min2223x23∴题设等价于2m12即m26学科网（北京）股份有限公司