高三数学答案

2022~2023学年度第一学期期末考试高三数学（参考答案及评分标准）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1~4.DBAD5~8.ABAC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.BCD10.BD11.AD12.AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.12휋14.315.7516.3，−<푚<0（第一空2分，第二空3分）푒2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本题满分10分）解：（1）因为푎푠????푛퐴푠????푛퐵+푐푐표푠퐴=(푎푐표푠퐴+2푏)푐표푠퐵，所以푎(푠????푛퐴푠????푛퐵−푐표푠퐴푐표푠퐵)+푐푐표푠퐴=2푏푐표푠퐵，所以−푎푐표푠(퐴+퐵)+푐푐표푠퐴=2푏푐표푠퐵，可得푎푐표푠퐶+푐푐표푠퐴=2푏푐표푠퐵，由正弦定理得푠????푛퐴푐표푠퐶+푠????푛퐶푐표푠퐴=2푠????푛퐵푐표푠퐵，………………………………………2分所以sin(퐴+퐶)=2푠????푛퐵푐표푠퐵，所以푠????푛퐵=2푠????푛퐵푐표푠퐵1因为푠????푛퐵≠0，所以푐표푠퐵=，分2…………………………………………………4휋由퐵∈(0,휋)，可得퐵=．分3…………………………………………………5휋（2）由余弦定理222得32=푎2+푐2−2푎푐푐표푠푏=푎+푐−2푎푐푐표푠퐵3即푎2+푐2−푎푐=9，…………………………………………………7分所以(푎+푐)2−3푎푐=91因为퐴퐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅퐶퐵⃗⃗⃗⃗⃗=퐵퐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅퐵퐶⃗⃗⃗⃗⃗=푎푐푐표푠퐵=푎푐=5，所以푎푐=10，分2………………………………8所以(푎+푐)2−30=9，解得푎+푐=√39，所以△퐴퐵퐶的周长为3+√39．…………………………………………………10分第1页，共6页18.（本题满分12分）解：（1）由题意，得2×2列联表如下：天文爱好者非天文爱好者合计女203050男351550合计5545100…………………………………………………2分22푛(푎푑−푏푐)100(20×15−30×35)100휒2===≈9.091>7.879(푎+푏)(푐+푑)(푎+푐)(푏+푑)50×50×55×4511…………………………………………………4分故能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关.…………………………………………………6分（2）由题意知，抽取的100人中女性有50人，其中“天文爱好者”有20人，“非天文爱好者”有30人，所以按分层抽样在50个女性人群中抽取5人，则有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”，再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为푋，则푋的可能值为0，1，2，…………………………………………………7分031221퐶2⋅퐶31퐶2⋅퐶363퐶2⋅퐶33所以푃(푋=0)=3=，푃(푋=1)=3==，푃(푋=2)=3=，퐶510퐶5105퐶510所以푋的分布列如下表：푋012133푃10510…………………………………………………10分1336所以数学期望为：퐸(푋)=0×+1×+2×=.…………………………………12分105105评卷说明：概率算对一个1分。19.（本题满分12分）(1)证明：当푛=1时，푆2+2푆1+6=−3+푎2−6+6=0，所以푎2=3.…………………………………………………1分当푛≥2时，由푆푛+1+2푆푛+3푛+3=0得：푆푛+2푆푛−1+3푛=0，…………………2分两式作差得：푎푛+1+2푎푛+3=0，…………………………………………………3分第2页，共6页即푎푛+1+1=−2(푎푛+1);…………………………………………………4分又푎2+1=−2(푎1+1)，满足푎푛+1+1=−2(푎푛+1);…………………5分所以数列{푎푛+1}是以−2为首项，−2为公比的等比数列．…………………6分푛−1푛푛(2)由（1）得：푎푛+1=−2·(−2)=(−2)，所以푎푛=(−2)−1;…………………………………………………7分푛当푛为奇数时，푎푛<0，푛−1≥0，所以푏푛=푎푛=(−2)−1;…………………………………………………8分푛푛푛当푛为偶数时，푎푛=2−1,令푐푛=푎푛−(푛−1)，则푐푛=2−1−(푛−1)=2−푛，푛+2푛푛则푐푛+2−푐푛=2−(푛+2)−2+푛=3·2−2>0，所以푐푛>푐푛−2>푐푛−4>⋯>푐2=2>0，푛即2−1>푛−1，所以푏푛=푛−1;…………………………………………………9分所以푇2푛=(푏1+푏3+푏5+⋯+푏2푛−1)+(푏2+푏4+푏6+⋯+푏2푛)=[(−2)1+(−2)3+(−2)5+⋯+(−2)2푛−1−푛]+[1+3+5+⋯+(2푛−1)]−2(1−4푛)푛(1+2푛−1)=−푛+1−422(1−4푛)=−푛+푛2．…………………………………………………12分320.（本题满分12分）解：（1）证明：取퐵퐶中点퐹，连接퐴퐹，퐷퐹．1因为퐴퐷//퐵퐶,퐴퐷=퐴퐵=퐵퐶，2所以四边形퐴퐵퐹퐷为菱形，四边形퐴퐹퐶퐷为平行四边形．所以퐴퐹⊥퐵퐷，퐴퐹//퐶퐷，所以퐶퐷⊥퐵퐷．……………………………………1分又因为퐵퐷⊥푃퐶，퐶퐷∩푃퐶=퐶，所以퐵퐷⊥平面푃퐶퐷．……………………………………2分又푃퐷⊂平面푃퐶퐷，所以퐵퐷⊥푃퐷．……………………………………3分又因为平面푃퐵퐷⊥平面퐴퐵퐶퐷，且平面푃퐵퐷∩平面퐴퐵퐶퐷=퐵퐷，所以푃퐷⊥平面퐴퐵퐶퐷．……………………………………4分（2）因为푃퐷⊥平面퐴퐵퐶퐷,푃퐵=푃퐶=2√2，所以푅푡△푃퐷퐵≌푅푡△푃퐷퐶，所以퐵퐷=퐶퐷．……………………………………5分又因为퐶퐷⊥퐵퐷,퐵퐶=2√2，所以퐵퐷=퐶퐷=푃퐷=2，……………………………………6分第3页，共6页又因为퐴퐷2+퐴퐵2=퐵퐷2，所以底面퐴퐵퐶퐷是直角梯形．……………………………………7分如图，以点퐷为坐标原点，퐷퐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,퐷퐶⃗⃗⃗⃗⃗,퐷⃗⃗⃗⃗P⃗的方向分别为푥轴，푦轴，푧轴建立空间直角坐标系，11则퐷(0,0,0),퐵(2,0,0),퐴(1,−1,0),푃(0,0,2),퐸(,−,1)．22平面푃퐵퐷的一个法向量为푚⃗⃗⃗=(0,1,0)，……………………………………8分设平面퐵퐷퐸的一个法向量为푛⃗⃗=(푥,푦,푧)，11因为⃗⃗⃗⃗⃗⃗，퐷퐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(,−,1)，퐷퐵=(2,0,0)22⃗⃗⃗⃗⃗⃗2푥=0由{퐷퐵⋅푛⃗⃗=0得{11．푥−푦+푧=0퐷퐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅푛⃗⃗=022取푧=1，则푦=2，所以푛⃗⃗=(0,2,1)……………………………………10分푚⃗⃗⃗⋅푛⃗⃗22√5所以cos〈푚⃗⃗⃗,푛⃗⃗〉===，…………………………………………11分|푚⃗⃗⃗||푛⃗⃗|1×√55所以平面푃퐵퐷与平面퐵퐷퐸所成角的余弦值为2√5．……………………………12分521.（本题满分12分）2푎+2푐=6푎=2푐1解：（1）由题意得{=，解得{，分푎2푏=√3……………………………………2푎2=푏2+푐2푐=1푥2푦2所以椭圆的方程为+=1,……………………………………………………3分43푃且，所以=1,푃=2퐹1(−1,0)2所以抛物线的方程为푦2=−4푥；……………………………………………………4分（2）由题意得直线的斜率不为0，푄(−2,0)，设直线푙的方程为푥=푚푦−2，……………………………………………………5分设퐴(푥1,푦1)，퐵(푥2,푦2)，퐶(푥3,푦3)，퐷(푥4,푦4)，푥=푚푦−2由{，得푦2+4푚푦−8=0，푦2=−4푥所以푦1+푦2=−4푚，푦1푦2=−8，……………………………………………………6分13若푆=푠，2311|푂퐴|⋅|푂퐵|sin∠퐴푂퐵푆22|푂퐴|⋅|푂퐵|푦1푦2푦1푦213则=1==||||=||=，……………………………7分푆1|푂퐶|⋅|푂퐷|sin∠퐶푂퐷|푂퐶|⋅|푂퐷|푦푦푦푦323434푦214因为푦1=−4푥1，所以直线푂퐴的斜率为=−，푥1푦14所以直线푂퐴的方程为푦=−푥，……………………………………………………8分푦1第4页，共6页4푦=−푥푦123×64由{，得푦3=2，……………………………………………………9分푥2푦23푦+64+=114323×64同理可得푦4=2，3푦2+643×643×6432×64232×64232×64푦2⋅푦2=×===，343푦2+643푦2+64222222248푚2+121129푦1푦2+3×64(푦1+푦2)+649×64+3×64×[(−4푚)+16]+64……………………………………10分2푆|푦푦|121+48푚2132所以(2)2=12==，得푚=±1，分푆292……………………………………111|푦3푦4|3所以存在直线푙，方程为푥−푦+2=0或푥+푦+2=0．……………………………………12分22.（本题满分12分）（1）解：푓′(푥)=푎−1−ln푥，푥>0……………………………………1分令푓′(푥)>0，解得0<푥<푒푎−1，令푓′(푥)<0，解得푥>푒푎−1，……………………………………2分所以函数푓(푥)的单调递减区间是[푒푎−1,+∞)，单调递增区间是(0,푒푎−1].……………………3分（2）解：法一：当푎≥1时，因为푒푎−1≥1，由(1)可知，푓(푥)在(0,1]上单调递增，所以푓(푥)≤푓(1)=0恒成立，…………………………4分当푎<1时，因为푒푎−1∈(0,1)，由(1)可知，푓(푥)在区间(0,푒푎−1)单调递增，在区间(푒푎−1,1)单调递减．则푓(푒푎−1)>푓(1)=0，与푓(푥)≤0恒成立相矛盾．……………………………………6分综上，实数푎的取值范围为[1,+∞).……………………………………7分法二：0<푥≤1时푓(푥)≤0，即푎푥−푎−푥ln푥≤0，即푎(푥−1)≤푥ln푥①푥=1时，①式恒成立，所以푎∈푅；푥ln푥0<푥<1时，由①得푎≥……………………………………4分푥−1푥ln푥푥−ln푥−1设푔(푥)=，则푔′(푥)=푥−1(푥−1)2푥−1设ℎ(푥)=푥−ln푥−1，ℎ′(푥)=<0,所以ℎ(푥)在，上单调递减，푥(01)ℎ(푥)>ℎ(1)=0,所以푔′(푥)>0,푔(푥)在(0，1)上单调递增，…………………………5分xxln又由洛必达法则知：limg(x)limlim(lnx1)1，x1x1x1x1所以푎≥1……………………………………………………6分综上푎的取值范围为[1,+∞).……………………………………………………7分评卷说明：应用洛必达法则且书写规范不扣分，否则扣1分。第5页，共6页（3）法一：证明：由(2)知，当0<푥≤1且푎=1时，푥−1−푥ln푥≤0，……………………………………8分112令푥=(푛∈푁∗)，则+ln푛≤1，……………………………………9分푛2푛2푛2ln푛푛−1即2ln푛≤푛2−1，即≤．……………………………………………………………10分푛+12ln1ln2ln푛01푛−1푛(푛−1)所以++⋯+≤++⋯+=．……………………………………12分23푛+12224评卷说明：法二：没有使用第二问的结果，构造不等式（函数）1分，证明不等式2分，放缩求和2分第6页，共6页