江苏省连云港市2023届高三下学期2月调研数学试题（解析版）

连云港市2023届高三2月调研考试数学试题注意事项：1．考试时间120分钟，试卷满分150分.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3．请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，根据共轭复数的概念可得答案.【详解】,故的共轭复数为，故选：B2.已知全集，，则集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可知集合中的元素，再由即可求得集合.【详解】由知，又因为，所以.故选：A3.现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（）A.56种 B.64种 C.72种 D.96种【答案】D【解析】【分析】根据是否入选进行分类讨论即可求解.【详解】由题意可知：根据是否入选进行分类：若入选：则先给从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有种，再给剩下三个岗位安排人有种，共有种方法；若不入选：则4个人4个岗位全排有种方法，所以共有种不同的安排方法，故选：.4.若函数在区间上的最大值为，则常数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式为，由可求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质求出的最大值，结合已知条件可求得的值.【详解】，当时，，则函数的最大值为，解得.故选：C.5.二项式的展开式中常数项为（）A.80 B. C. D.40【答案】B【解析】【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于0，即可得出答案.【详解】解：二项式的展开式的通项为，令，则，所以常数项为.故选：B.6.已知正四面体，，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出图形，找出直线与平面所成角的平面角，在三角形内即可求解.【详解】如图，过点向底面作垂线，垂足为，连接，过点作于G，连接，由题意可知：且，因为平面，所以平面，则即为直线与平面所成角的平面角，设正四面体的棱长为2，则，，所以，则，在中，由余弦定理可得：，在中，，所以，所以直线与平面所成角的正切值是，故选：.7.在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现该100名患者中有20名的年龄位于区间内．已知该地区这种疾病的患病率为0.15%，年龄位于区间内人口占该地区总人口的30%．现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间内，则此人患该疾病的概率为（）A.0.001 B.0.003 C.0.005 D.0.007【答案】A【解析】【分析】利用条件概率公式计算即可.【详解】设从该地区任选一人，若此人年龄位于区间内为事件A，此人患该疾病为事件B，则.故选：A.8.已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出图形，设，，由三角形相似得到，得到圆锥的表面积为，令，由导函数得到当时，圆锥的表面积取得最小值，进而得到此时与，作出圆锥的外接球，设外接球半径为，由勾股定理列出方程，求出外接球半径和表面积.【详解】设圆锥的顶点为，底面圆的圆心为，内切球圆心为，则，，因为⊥，⊥，所以∽，则，设，，故，由得：，由得：，故，所以，，解得：，所以圆锥的表面积为，令，，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故在时取得最小值，，此时，，设圆锥外接球球心为，连接，设，则，由勾股定理得：，即，解得：，故其外接球的表面积为.故选：A【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设，，是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则不与垂直 D.不与垂直【答案】AB【解析】【分析】A选项，两边平方计算出，得到垂直关系；B选项，计算出，得到垂直关系；C选项，计算出，得到垂直关系，D计算出，得到D正确.【详解】，，是三个非零向量，A选项，两边平方得：，即，故，则，A正确；B选项，，因为，所以，故，B正确；C选项，，故，则与垂直，C错误；D选项，，故与垂直，D错误.故选：AB10.折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台（）A.高为 B.表面积为C.体积为 D.上底面积、下底面积和侧面积之比为【答案】BCD【解析】【分析】求得圆台的上下底面半径，根据圆台的结构特征可求得圆台母线长和高，判断A；根据圆台的侧面积以及体积公式求得表面积和体积，判断B，C；进而求得上底面积、下底面积和侧面积之比，判断D.【详解】对于A，设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则，解得,所以圆台的母线长为，高为，选项A错误；对于B，圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，所以圆台的表面积为，选项B正确；对于C，圆台的体积为，选项C正确；对于D，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为，选项D正确，故选：BCD．11.已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（）A.若直线l经过焦点F，且，则B.若，则直线l的倾斜角为C.若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为D.若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切【答案】BC【解析】【分析】A选项，考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由列出方程，求出，A错误；B选项，先得到直线经过抛物线焦点，与A一样，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合求出直线l的斜率，得到倾斜角；C选项，设，由抛物线定义结合基本不等式得到的最小值；D选项，与C一样，考虑直线l不经过焦点时，得到圆M与准线相离，D错误.【详解】A选项，由题意得：，准线方程为，当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，故设直线，与联立得：，故，则，所以，解得：，A错误；B选项，因为，所以三点共线，即直线经过抛物线焦点，当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，故设直线，与联立得：，故，因为，所以，代入中，得到，即，因为点A在第一象限，所以，故，即，，解得：故直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，则，解得：，B正确；C选项，设，过点作⊥准线于点，过点作⊥准线于点P，因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以⊥，则，由抛物线定义可知：，由基本不等式得：，则，当且仅当时，等号成立，故，即，C正确；D选项，当直线l不经过焦点时，设，由三角形三边关系可知：，由抛物线定义可知结合C选项可知：，即，若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相离，D错误.故选：BC【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．12.利用“”可得到许多与n（且）有关的结论，则正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先证明出，当且仅当时，等号成立，A选项，令，得到，累加后得到A正确；B选项，推导出，，当且仅当时等号成立，令，可得，累加后得到B正确；C选项，推导出，累加后得到C错误；D选项，将中的替换为，推导出，故，当且仅当时，等号成立，累加后得到D正确.【详解】令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，也时最小值，，故，当且仅当时，等号成立，A选项，令，所以，故，其中，所以，A正确；B选项，将中的替换为，可得，，当且仅当时等号成立，令，可得，所以，故，其中所以，B正确；C选项，将中的替换为，显然，则，故，故，C错误；D选项，将中的替换为，其中，，则，则，故，当且仅当时，等号成立，则，D正确.故选：ABD【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程是____________.【答案】；【解析】【分析】先求出圆的圆心和半径，即得圆的方程.【详解】由题得圆心的坐标为，即.圆的半径为.所以圆的方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14.为了研究高三（1）班女生的身高x（单位；cm）与体重y（单位：kg）的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某女生的身高为170cm，据此估计其体重为________________kg．【答案】54.5【解析】【分析】计算出样本中心点，代入回归直线方程，得到，从而估计出该女生的体重.【详解】，，故，解得：，故回归直线方程为，则当时，(kg).故答案为：54.515.直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为9，则离心率=______.【答案】##【解析】【分析】设出点的坐标，利用横坐标之积求出坐标，代入双曲线方程求出a，进一步求出离心率【详解】由A，B两点在直线上，设，因为A，B两点关于原点对称，所以，由A，B两点的横坐标之积为9得，解得，所以，代入双曲线方程得，所以，所以，所以离心率为.故答案为：16.已知定义在R上的函数，若有解，则实数a的取值范围是______________．【答案】【解析】【分析】分析的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性求解.【详解】，所以是奇函数，又，在R的范围内是增函数，有解等价于，有解，令，当时，是增函数，当x趋于时，趋于，满足题意；当时，当时，，是增函数，当时，是减函数，；令，则，当时，，增函数，当时，是减函数，并且当时，，，当时，即当时，满足题意，所以a的取值范围是；故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前n项和为，且．（1）证明：数列是等差数列；（2）设数列的前n项积为，若，求数列的通项公式．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由通项与前项和的关系结合等差的定义证明即可；（2）由等差数列通项公式得出，再由题设定义得出数列的通项公式．【小问1详解】当时，当n≥2时，，所以，所以（常数），故数列是以为首项，2为公差的等差数列．【小问2详解】由（1）知，，得，当n≥2时，，当时，，不符合上式，故．18.为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．（1）求甲班在项目A中获胜的概率；（2）设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，利用独立事件的乘法公式