2023.3湘豫联考高三理数答案

湘豫名校联考#$#%年%月高三第一次模拟考试数学!理科参考答案题号!#%&'()*!$!!!#答案+,,--.+.,.+,一#选择题$本题共!#小题%每小题'分%共($分/在每小题给出的四个选项中%只有一项是符合题目要求的/!!+!&命题意图'本题考查集合的运算#解不等式$考查了数学运算的核心素养!#&解析'因为集合0!#!##1##1%$$0!#!#1!$#$%#$0!#!###1##%!#所以&!$0!#!###1##'!0!#!#!'#'%!所以($&!$%0!#!#!'#'%0$!#%%!故选+!#!,!&命题意图'本题考查复数的运算#复数的几何意义$考查了数学运算#直观想象的核心素养!!1&2$!1&2%$!12%!1&1$&3!%2!1&&3!&解析'因为复数%000012#其在复平面内对应的点位于第!32$!32%$!12%###!1&)$#四象限#所以解得1!'&'!!所以实数&的取值范围为$1!#!%!故选,!%&3!)$#%!,!&命题意图'本题考查等差数列的性质#等比数列的通项及其性质$考查了数学运算#逻辑推理的核心素养!#&解析'设等比数列!&'的公比为(#因为%&'是&(和&)的等差中项#所以(&'0&(3&)#即(&'0&'(3&'(!#因为&'*$#所以(3(1(0$#解得(0#或(01%!因为等比数列!&'是递增数列#所以(0#!又因为&%0))&#所以&!$0&%(0&4#0'!#!故选,!&!-!&命题意图'本题考查函数的周期性及函数图象的对称性$考查了数学抽象#逻辑推理的核心素养!&解析'因为)$#3!%为偶函数#所以)$!3#%0)$!1#%#所以)$#%0)$#1#%!又)$#3#%3)$#1#%0$#所以)$#3#%01)$#%!所以)$#3&%01)$#3#%0)$#%#所以函数)$#%的一个周期为&#所以)$#$#%%0)$'$(4&1!%0)$1!%01)$!%01!!故选-!'!-!&命题意图'本题考查相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式$考查了转化思想和数据分析求解能力以及数学建模的核心素养!&解析'设该小组三人能同时进入决赛为事件#则该小组三人能同时进入决赛即前两轮比赛三人都顺利通%##%##!过#则*$%0444440!故选-!&%%&%%(!.!&命题意图'本题考查圆与双曲线的综合问题$以及双曲线离心率的求法$考查了运算求解能力和数学运算的核心素养!###&解析'方法一&依题意#易得以+!+#为直径的圆的方程为#3,0-!又由##,#/双曲线.&10!$&)$#/)$%#易得双曲线.的渐近线方程为,05#!&#/#&/,,0##/&当,0#时#如图#设*$#$#,$%#则0$1#$#1,$%!联立解得&+-##3,#0-###0&##01&#或所以*$&#/%#0$1
/%!又因为$1&#$%#所以0.#%,0/#%,01/#数学!理科参考答案!第!页!共页书轴!因为0/*0$#&#/%#0/00$$#1/%!所以0/*'0/001/#01&&##所以/0#&!因为/#0-##所以'�/-#!同理#当,01#时#亦可得'�-#!故双曲线.的离心率为10'!故选.!&槡!方法二$极化恒等式%&易得坐标原点2为线段*0的中点#且#*0#0#-#所以0/*'0/00($0/*30/0%#1&!$0/*10/0%#)0$##0/2##1#00/*##%0
-#01&&##所以'�-##10'!故选./&槡)!+!&命题意图'本题考查线性规划$考查了直观想象#逻辑推理的核心素养!&解析'由题#画出满足题意的可行域如图所示#令%0#1#,#%0#1#,可化!!!!!为,0#1%#1%相当于直线,0#1%在,轴上的截距!平移直#####!线,0##当直线过点时#截距最大#%最小*当直线过点.时#截距最小###1,3#0$##0%##3,0$#%最大!联立得所以$%#'%!联立得%#0%#%,0'#%#0%##0%#所以.$%#1%%!所以%6270%1#4'01)#%6890%1#4$1%%0!%,01%#所以##1#,#6890%6890!故选+/*!.!&命题意图'本题考查离散型随机变量的分布列#期望与方差$考查了数据分析#数学运算的核心素养!!#!%&解析'由题意#得&3/3-30!#所以&3/3-0!!因为3$4%0$1!%4&3$4/3!4-3#40#所%%%&!!)!!!以1&3-0!由*$4%!%0-30#得-0#代入!解得&&0#/0!所以5$4%0!#%!#&(&%#!%#!%#!%#!!1!143$143!143#140!故选.!!&(!&&!&&!&%!(!,!&命题意图'本题考查排列#组合的综合问题$考查了运算求解能力$逻辑推理和数学建模的核心素养!&解析'根据题意#学校从'名优秀学生中选出&人去参加%本书籍的知识竞赛#且每本书的知识竞赛都要有该校学生参加#则必会有两人去参加同一书籍的知识竞赛!!若选出的&名学生中不含甲同学#在这&名学#%生中任意取#人进行捆绑#则不同的安排方法共有.&'-%0%(种*若选出的&名学生中含有甲同学#则在%剩余的&名优秀学生中再抽取%人#共有.&0&种方法*若甲同学和其中!名学生去参加同一书籍的知识竞!!#!##赛#则共有.%'.#'-#0!#种方法*若甲同学单独一人去参加某本书的知识竞赛#则共有.#'.%'-#0!#种方法/根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理可得#不同的安排方法共有&4$!#3!#%0(种/综上所述#不同的安排方法共有%(3(0!%#种/故选,/!$!.!&命题意图'本题考查数学文化#数列求和$考查了数学抽象#数学运算#逻辑推理的核心素养!&解析'由&'3#3#&'0%&'3!#得&'3#1&'3!0#$&'3!1&'%!又
&!0##所以数列!&'3!1&'构成以#为首'#'1!项##为公比的等比数列#所以&'3!1&'0#!又
&!0##&%1�##+#&'1&'1!0##叠加可得$
!#'1!!#'1!$&!%3$&%1&#%3+3$&'1&'1!%0#3#3+3#$'%#%#即&'1&!0#3#3+3##所以&'0#3!#'1!''1'3!#3#3+3#0#1!$'%#%!又因为&!0!满足上式#所以&'0#1!$'%!所以&'3!0#1!!因''3!'3!''3!'3!'3!为#'#1!'##所以:;<##':;<#$#1!%':;<###即'':;<#$#1!%''3!#所以/'0()($'3!%)!!!!!!!:;<#&'3!0:;<##1!0'!故001!所以6#$#%0!!13!13/'/'3!''$'3!%''3!##%!!!#$#%+310!10!故选.!!#$#%#$#&#$#&#$#&!!!+!&命题意图'本题考查函数的应用$考查了数学建模#数学运算#逻辑推理的核心素养!数学!理科参考答案!第!#页!共页!&解析'由题意得#销售收入为!$$#万元#当产量不足'$万件时#利润)$#%0!$$#17$#%1#$$01#%3!#$(&$$&$#1#$$*当产量不小于'$万件时#利润)$#%0!$$#17$#%1#$$0!!($1#3!所以利润!#!,1#%3&$#1#$$#$'#''$#!#$!)$#%0+因为当$'#''$时#)8$#%01$#3&$%$#1&$%#所以)$#%在(&$$&$!!($1#3##%'$!-!##($$(&$$$$#&$%上单调递增#在$&$#'$%上单调递减#则)$#%$)$&$%0!当#%'$时#!!($1#3$%!#(&$$#($$!!($1##40!$$$#当且仅当#0*$时取等号!又!$$$)#所以当#0*$时#所获利润最大#槡#%最大值为!$$$万元!故选+!!#!,!&命题意图'本题考查对数大小的比较及导数的应用$考查了数学抽象#逻辑推理#数学运算的核心素养!:7#$##:7#$#%$:7#$##%#1:7#$#!':7#$#%&解析':;<#$#!#$##1:;<#$###$#%010!:7#$#!:7#$##:7#$#!':7#$##:7#$#!3:7#$#%#:7$#$###1!%#:7#$####因为:7#$#!':7#$#%'0'0$:7#$##%##所以!#&#'!##$#%:;<#$#!#$##1:;<#$###$#%)$#所以:;<#$#!#$##):;<#$###$#%!比较:;<#$#!#$##与的大小#即比较#$##!!31:7#:7#$##:7#$#!:7##!与的大小!令)$#%0$#)$%#则)8$#%0!令9$#%0!31:7##则#$#%#$###3!$#3!%##!!!98$#%011'$!所以9$#%在定义域上单调递减#所以当#)=#时#9$#%'9$=#%0!31#'$#所###=#:7#$##:7#$#!以)8$#%'$#所以)$#%在$=##3>%上单调递减!所以)$#$##%')$#$#!%#即'!所以#$#%#$##:7#$###$#%#$#%#$#%'#即:;<#$#!#$##'!综上所述#:;<#$###$#%':;<#$#!#$##'!故选,!:7#$#!#$###$###$##二#填空题$本题共&小题%每小题'分%共#$分!!!槡!%!%!!&命题意图'本题考查向量的运算法则$考查了数学抽象#直观想象的核心素养!!%!!#&解析'因为向量!0$!#:%#0$##:%##0!1#所以#01#:!因为.##:)$#所以'#0$#即!%!!%!%!*#13:#0$#解得:0%$负值舍去%!所以!0$!#%%#0$##%%$所以!'0!4#3%4%0!!!所以!在!%!%!'!!!!!%方向上的投影为00槡!##槡!%!%!&!%或1'$只答一个不得分%!&命题意图'本题考查二项式定理$考查了数学运算的核心素养!(!((&解析'因为&槡#3%的展开式中各项系数的和为$&3!%#各二项式系数的和为##所以由题意得!槡#$&3!%(0(&0#(#所以&3!0&#或&3!01&#解得&0%#或&01'!#(!'!#$槡!'#!&命题意图'本题考查线面垂直以及三棱锥的外接球问题$考查了学生的运算求解能力和直观想象#数学运算的核心素养!&解析'因为$0$.0*$0#槡%#.0(#所以在2$.中#根据余弦定理可得&.#0$#3$.#1#$'数学!理科参考答案!第!%页!共页$.?;@3$.#即%(0$#槡%%#3$#槡%%#1#4$#槡%%#?;@3$.#所以!?;@3$.01#所以3$.0!#$A!所以底面2$.是顶角为!#$A的等#腰三角形!由题意将三棱锥*1$.补成如图所示的直三棱柱;*61$.#则该直三棱柱的外接球即为三棱锥*1$.的外接球#且直三棱柱的外接球球心落在上,下底面外接圆圆心连线的中点上!设2$.外接圆的半径为<#三棱锥*1$.外接球的半径为=#由正弦定理得##<0.(*$#00&槡%#所以<0#槡%#=#0<#3!0!#3%0!'!所以三@273$.槡%##&棱锥*1$.外接球的体积为>0#=%0#$!'#!%槡!(!1!!&命题意图'本题考查直线与椭圆的位置关系$考查了直观想象#数学运算#逻辑推理的核心素养!&解析'由题意知#直线?的斜率存在且不为$和1!#设直线?的方程为,3!0@$#1#%#即,0@#1#@1!!,,0@#1#@1!#3##$#%#$#%##$#%##$%$设A#!,!B##,#点AB的坐标均不为$1!联立+#整理得!3&@#1*@#@33,#0!#-&!%#3!(@#3!(@0$#则!0(&@#$#@3!%#1&$!3&@#%$!(@#3!(@%01(&@)$#解得@'$!因为!)$时##*@$#@3!%!(@3!(@,!1!,#1!$,!1!%##3$,#1!%#!#!3##0###!##0##所以@!3@#0300!3&@!3&@#!###!##!(@#3!(@*@$#@3!%#@'#1#$@3!