高三数学答案（理）

开封市2023届高三年级第二次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BDCBAABACBAD二、填空题（每小题5分，共20分）913.1i答案不唯一，虚部为114.1615.5616.双曲线，6第一空2分，第二空3分三、解答题（共70分）117.（1）当n2时，因为anSnSn1，所以SnSn1，……2分SnSn1即22，所以数列2为等差数列，公差为，首项为2，……4分SnSn11Sn1S11所以2，为正项数列，则；……5分SnnanSnn（2）由（1）可知，当时，，n2anSnSn1nn1亦适合上式，所以，……7分a11annn1n1n所以，……8分bn1nn1an当为偶数时，LL……10分nTn11223n1nn当为奇数时，LL……11分nTn11223n1nnn，n为偶数，综上可知Tn……12分n，n为奇数.1200288667018.（1）样区野生动物平均数为65，20地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006513000.……3分，，，，，，，，，，（2）将样本点42828替换为366370，构成一组新的样本数据xiyii1220，60423312002886670计算得x==3，y==65，20202020，2，……6分xiyi=440042828+366+370=4680xi=260164+9+9=258i1i120xy20xyii468020365所以i1，，……8分b20==10a65103=3522258209xi20xi1所求回归方程为yˆ10x35.……9分（3）每个地块的植物覆盖面积增加1公顷，该地区这种野生动物增加数量的估计值为：10200=2000.……12分（理科）·1·19.（1）由已知，ADC为等腰直角三角形，E为AC的中点，可得DEAC，……1分ABC中，AC=2，AB=22，BAC=45，所以BC=2，因为AC2BC2AB2，所以ACBC，……2分又因为ADBC，ACAD=A，所以BC平面ADC，又DE平面ADC，所以BCDE，……4分又ACBC=C，所以DE平面ABC.……5分（2）如图过C点作平面ABC的垂线CP，以C为原点，分别以CA,CB,CP为x，y，z轴建立空间直角坐标系C-xyz，则C0,0,0，A2,0,0，B0,2,0，E1,0,0，设D1,a,1a2，其中1a1，则BD1,a2,1a2，CA2,0,0，CD=1,a,1a2，……7分设平面ACD的一个法向量为nx,y,z，，2x=0，CAn=02则即可得n0,1a,a，……8分2CDn=0，xay1az=0，nBD311由题意cosn,BDsin60=，解得a或a，……9分nBD224易知平面ABC的一个法向量为m0,0,1，……10分131nm1时，，1当a=n0,,cosn,m，二面角D-AC-B的余弦值为，222nm221151nm11当a=时，n0,,，cosn,m，二面角的余弦值为，D-AC-B444nm4411综上，二面角D-AC-B的余弦值为或.……12分24p20.（1）当AB平行于x轴时，四边形ABCD为矩形，AB=2p，AD=，……2分2p所以S=ABAD=2p=p2=4，解得p=2.……4分ABCD2x2x（2）由（1），抛物线E:x24y，即y，y'，F0，1，42，，，，设l:ykx1Px0y0Ax1,y1Bx2,y2，2x0x02则y'|x=x=kx0=2k，y==k，……5分02042，x=4y222，联立得y212ky1=0，y1y2=212ky1y2=1，……6分ykx1，2222kk+12则AB=y1y2+2=41k，点P到AB的距离d=1k，1k2122822所以SABP=ABd21k1k，S弓形APB=1k1k，……8分232又y1y2=kx1x2=kCD，所以CD=41k，（理科）·2·122又四边形ABCD是直角梯形或矩形，所以S四边形ABCD=y1y2CD=412k1k，……9分281k21k2S弓形21所求概率P=1APB=13=，……11分222S四边形ABCD412k1k3312k1212由k20得P，所以所求概率的取值范围是，.……12分3333lnx21.（1）f(x)+1，f(1)1，f1=2，……2分x2故fx在点P处的切线方程为：yx+1.……4分fmfn（2）若MN∥l，则=1，即fmm=fnn，mnlnm1lnn11111即，即1ln1ln，……5分mnmmnn11设gxx1lnx，x，x，则gxgx，所证为2x+xe，1m2n1212g'(x)lnx，当0x1时，g'(x)0，当x1时，g'(x)0，所以函数gx在0,1上单调递增，在1,上单调递减，……7分不妨设x1x2，由gx的单调性及ge=0易知0x11x2e，①证明2x1+x2：，令h1xgxg2xx0,1，h1'(x)lnx2x0，所以h1x在0,1上单调递增，h110，所以h1x0，所以h1x1gx1g2x10，即gx2gx1g2x1，又gx在1,上单调递减，所以x22x1，即2x1+x2.……9分②证明x1+x2e：当x2e1时，结论显然成立；，当e1x2e时，令h2xgxgexxe1,e，h2'(x)lnxex，所以h2x在e1,e上先单调递减后单调递增，可证h2x0，所以h2x2gx2gex20，即gx1gx2gex2，又gx在0,1上单调递增，所以x1ex2，即x1+x2e.……11分11综上所述，2x+xe即2e得证.……12分12mn222x222.（1）由C2的参数方程得：cossincossiny2，2x2y2曲线C2的普通方程为：1.……4分421x1t，2（2）由已知得：曲线C为过点M1,0的直线，其标准参数方程形式为：t为参数，13yt2（理科）·3·2213联立和的方程得：，即2，……6分C1C21t2t407t4t120,022412设C与C的两个交点A,B对应的参数分别为t,t，所以tt,tt，……8分121212712712111111t1t21因为t1t20，由t的几何意义得：.……10分7MAMBt1t2t1t2t1t2323.（1）abc33abc，a2b2c233abc2，abca2b2c293abc3，……2分1abc=1，a2b2c29abc，当且仅当abc时“=”成立.……4分3（2）a，b，cR，22b1b116a216a8b1，当且仅当b14a时取等号，aa22c1c116b216b8c1，当且仅当c14b时取等号，bb22a1a116c216c8a1，当且仅当a14c时取等号，……6分cc222a1c1b116c16b16a8abc332，……8分cba2221a1c1b1当且仅当a=b=c=时“=”成立，16.……10分3cba（理科）·4·