宁夏回族自治区银川一中2023届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题（解析版）

文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.以下四个写法中：①；②；③；④，正确的个数有（ ）A.个 B.个 C.个 D.个【答案】C【解析】【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系，空集，交集的概念做出判断.【详解】对于①，正确；对于②，因为空集是任何集合的子集，所以正确；对于③，根据集合的互异性可知正确；对于④，，所以不正确；四个写法中正确的个数有个，故选:C.2.复数的共轭复数在复平面上对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用除法运算化简，根据共轭复数定义得到,进而判定.【详解】=,其共轭复数为,在复平面上对应的点的坐标为,故选：.3.已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的上支的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义判断.【详解】，，不存在满足的点；满足点在双曲线的下支；满足的点在双曲线的上支；满足的点的轨迹是整个双曲线；故选：C．4.图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按将导致，，，，改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可知，要只改变的状态，则只有在及周边按动开关才可以实现开关的次数最少，利用表格分析即可.【详解】根据题意可知：只有在及周边按动开关，才可以使按开关的次数最少，具体原因如下：假设开始按动前所有开关均为闭合状态，要只改变的状态，在按动后，，也改变，下一步可同时恢复或逐一恢复，同时恢复需按动，但会导致周边的，也改变，因此会按动开关更多的次数；所以接下来逐一恢复，至少需按开关次；这样沿着周边的开关再按动，可以实现最少的开关次数，即按动次可以满足要求.如下表所示：（按顺时针方向开关，逆时针也可以）按动开开关开关关关关关按动开关开开关开关关关按动开关关开开关关关开按动开关关开开关开开关按动开关关关关关关关关则需按开关的最少次数为.故选：A.5.对件样品进行编号，，，，在如下随机数表中，指定从第行第列开始，从左往右抽取两个数字，抽取个编号，则抽到的第个编号是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】按照随机数表法的抽取原则依次抽取号码即可确定结果.【详解】自第行第列开始，第一个编号为，去除编号不在的号码和重复号码，依次抽取的个编号为：，则抽到的第个编号为.故选：D.6.是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解法一:根据充分条件与必要条件的概念，结合不等式的基本性质直接判断，即可得出结果.解法二:利用基本不等式的等号成立的条件可以否定充分性，利用代数变形，结合不等式的基本性质可以论证必要性.【详解】解法一：当时，满足，但，不成立，故是的不充分条件；当时，不成立，当时无意义，即不成立，故是的必要条件；综上，是的必要不充分条件.解法二：当时，，，当且仅当时取等号，所以是的不充分条件；若，则，所以,故是的必要条件；综上，是的必要不充分条件.故选：B.7.为了解市民的生活幸福指数，某组织随机选取了部分市民参与问卷调查，将他们的生活幸福指数（满分100分）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，根据此频率分布直方图，估计市民生活幸福指数的中位数为（）A70 B. C. D.60【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图所有小长方形面积是1可得，根据中位数的定义即可求得结果.【详解】由题意可得，解得.因为成绩在的频率为，成绩在的频率为，故市民生活幸福指数的中位数在内.设市民生活幸福指数的中位数为，则，解得.故选：C8.为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度为（）A.2m B.3m C.2.5m D.1.5m【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求得，再将点代入抛物线方程中，求出，即可求得的高度．【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线的方程为，因为点，所以，解得，所以抛物线方程为，点在抛物线上，所以，解得，所以，所以管柱的高度为．故选：B．9.如图，某几何体三视图为三个完全相同的圆心角为90°的扇形，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是半径为1的八分之一球，画出直观图，根据球的表面积公式和扇形的面积公式，即可求出结果．【详解】由三视图可知，该几何体是半径为1的八分之一球，直观图如图所示．其表面积．故选：C.10.设数列的前项和为，若，且，则（）A.2019 B. C.2020 D.【答案】D【解析】【分析】用，代入已知等式，得，可以变形为：，说明是等差数列，故可以求出等差数列通项公式，最后求出的值.【详解】因为，所以，所以数列是以为公差的等差数列，，所以等差数列的通项公式为，故本题选D.【点睛】本题考查了公式的应用，考查了等差数列的判定义、以及等差数列的通项公式.11.已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在区间上的值域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的性质和三角函数的图象变换，求得函数，进而求得函数在区间上的值域.【详解】因为的最小正周期为，公众号：高中试卷君所以，即，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，当时，，当时，即时，函数取得最大值，最大值；当时，即，函数取得最小值，最小值为，所以函数的值域为.故选：A.12.已知函数是定义域为且周期为4的奇函数，当时，，，则下列结论错误的是（）A.B.函数的图象关于对称C.的值域为D.函数有9个零点【答案】C【解析】【分析】易知，然后利用，同理可得其它相同的结果，则A可解决；由周期性、对称性，进而解决BCD的判断．【详解】由于是定义域为且周期为4的奇函数，对称中心为原点，对称轴为，，故，，同理，故正确；是定义域为且周期为4的奇函数，当时，，当时，，，当时，，，则当，，；当，，；当，，；当，，；因为是周期为4的函数，故也是周期为4的函数，因此也是周期为4的函数，函数图像如图所示此时在处有最大值，故，故C错误；函数图像对称轴为，，易知，时，B正确；作出与的图像，其中，当时，，，，此时两函数图像不相交；当时，，时，；如图所示，与共由9个交点，故D正确．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为________．【答案】【解析】【分析】根据幂函数的性质既可以求得.【详解】根据三个函数可得定义域为：，则根据幂函数的性质可知这三个函数都经过点.故答案为：14.如图是某产品加工为成品的流程图，从图中可以看出，零件到达后，一件成品最少、最多需要经过的工序数目分别为________．【答案】4，6【解析】【分析】根据流程图，直接判断答案即可.【详解】解：由某产品加工为成品的流程图看出，一件成品最少经过的工有：粗加工，检验，精加工，最后检验，共4道程序；一件成品最多经过的工序有：粗加工，检验，返修加工，返修检验，精加工，最后检验，共6道程序.故答案为：4，6.15.给定参考公式：，则数列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5…的前100项的和是________．【答案】945【解析】【分析】根据数列找到其中规律：对应数字出现的次数等于这个数的数值，且前100项的最后一项为14且出现的次数为9，再根据列式求和【详解】根据数列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5…的规律知1、对应数字出现的次数等于这个数的数值2、前100项的最后一项为14，但出现的次数为9∴故答案为：945【点睛】本题考查了数列，利用已知数列的规律，确定前n项的最后一项的值及出现次数，再利用参考公式求前n项和16.等腰直角的斜边的端点分别在，的正半轴上移动（点与原点在两侧），，若点为中点，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】设，用的正余弦表示出点C，D坐标，结合向量模的坐标表示及三角函数性质求解作答.【详解】如图，设，则，线段中点，，，则有，，，由得，于是得，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得的一些数据如下表所示：第x天14916253649高度ycm0479111213作出这组数据的散点图发现：y（cm）与x（天）之间近似满足关系式，其中a，b均为大于0的常数．（1）试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于x的经验回归方程；（2）在作出这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的2个点，求这2个点中幼苗的高度大于的点的个数恰为1的概率．附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）利用最小二乘法的计算公式即可;（2）根据古典概型求解即可.【小问1详解】令，则，根据已知数据表得到如下表：x149162536491234567y0479111213，，通过上表计算可得：，因为回归直线过点，所以，故关于的回归方程；【小问2详解】7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，从散点图中任取2个点，即从这7天中任取2天，所有可能取到的结果为21种，这2个点中幼苗的高度大于的点的个数恰为1的概率：18.已知三棱锥的侧棱，．且为靠近的三等分点．（1）证明：；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理和线面垂直的判定可得平面，由线面垂直性质可得结论；（2）设点到平面的距离为，可知所求距离为，利用体积，结合棱锥体积公式可构造方程求得，进而得到结果.【小问1详解】，，，，，，又，平面，平面，平面，.【小问2详解】设点到平面的距离为，为靠近的三等分点，，点到平面的距离为．，，又，，平面，平面，又，；，，，，解得：，，即点到平面的距离为.19.重庆某公园有两块三角形草坪，准备修建三角形道路（不计道路宽度），道路三角形的项点分别在草坪三角形的三条边上．（1）第一块草坪的三条边米，米，米，若，（如左图），区域内种植郁金香，求郁金香种植面积．（2）第二块草坪的三条边米，米，米，为中点，（如右图），区域内种植紫罗兰，求紫罗兰种植面积的最小值．【答案】（1）；（2）最小值450平方米.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得,进而在直角三角形中计算求解；（2）利用正弦定理求得，进而得到，然后利用三角函数恒等变形和三角函数的性质求得最小值.【详解】（1）∵，∴米，米．在中：，在中：，所以．（2）设，则．在中：，．所以，所以，其中，所以．当时取得最小值450平方米．【点睛】本题考查关键难点为利用积化和差公式变形进而求最值，积化和差公式由两角和差的公式推导得来，此处用到的是.20.如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为