2023年高考数学必做模拟卷—新高考Ⅱ考纲卷08（解析版）

2023年高考必做模拟卷—新高考Ⅱ考纲卷08一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，若，则（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，又∵，∴，∴，∴，∴，故选B。2．若复数，则（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】，则，故选A。3．在中，是以为第三项、为第七项的等差数列的公差，是以为第三项、为第六项的等比数列的公比，则的形状是（）。A、直角三角形B、等腰直角三角形C、锐角三角形D、钝角三角形【答案】C【解析】由题意可知，，而，∴是锐角三角形，故选C。4．学习为了奖励数学竞赛中获奖的优秀学生，将梅、兰、竹、菊四幅名画送给获奖的甲、乙、丙三位学生，每个学生至少获得一幅，则在所有送法中甲得到名画“竹”的概率是（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】由题意可知总方法数，先分组，，再分配，由分步计数原理可知总方法数，满足条件方法数，概率，故选B。5．已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵是定义在上的偶函数，∴，∴，∵在上为增函数，∴在上为减函数，由可得，且，解可得或，故不等式的解集为，故选B。6．在棱长为的正方体中，若为中点，为侧面的中点，且平面，则（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】连接、、，则为中点，，，连接，∵，，∴，又为的中点，∴为中点，∴，故选A。7．已知定义在上的可导函数满足，令（），，则必有（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】设，定义域为，，∴为单调递增函数，∵，∴，即，∴，即，故选A。8．已知椭圆：，过其左焦点做直线交椭圆与、两点，取点关于轴对称的点，若点为的外心，则（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】，由题意可知直线一定有斜率且斜率一定不为，设：，联立得：，恒成立，设、，则、，∴，∴，设的中点为，则的坐标为，又轴垂直平方，∴可设，∴的直线方程为：，∴，解得，∴，∴，故选D。二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）。A、个球都是红球的概率为B、个球不都是红球的概率为C、至少有个红球的概率为D、个球中恰有个红球的概率为【答案】ACD【解析】根据题意，从甲袋中摸出个红球的概率为，则摸出的球不是红球的概率为，从乙袋中摸出个红球的概率为，则摸出的球不是红球的概率为，A选项，个球都是红球，即从甲袋中摸出的球是红球与从乙袋中摸出的球是红球同时发生，则其概率为，对，B选项，“个球不都是红球事件”是“个球都是红球事件”的对立事件，∴所求概率为，错，C选项，至少有个红球与两球都不是红球为对立事件，∵两球都不是红球的概率为，∴所求概率为，对，D选项，由两球都不是红球的概率为，由A选项可得个球都是红球的概率为，则个球中恰有个红球的概率为，对，故选ACD。10．已知、，，则下列选项中正确的是（）。A、的最大值为B、的最大值为C、的最大值为D、的最小值为【答案】BC【解析】∵、，，∴，∴、，A选项，∵，∴，错，B选项，，当且仅当即、时等号成立，对，C选项，∵，∴，当且仅当即、时等号成立，对，D选项，∵，当且仅当即、时等号成立，不符合条件，错，故选BC。11．已知函数，，则（）。A、若在上单调递增，则B、若函数，则为奇函数C、当时，若，则的取值范围是D、若函数不存在零点，则【答案】BD【解析】A选项，当时，在上单调递增，错，B选项，∵，∴定义域，且，对，C选项，当时，，∴，∴或，错，D选项，令，则，当，则不成立，当，则，设，则，∴在单调递增，在单调递增，在单调递减，∴的大致图像如图所示，∴若函数不存在零点，则，对，故选BD。12．如图所示，、、…、（）是函数：上的点，、、…、是轴正半轴上的点，且、、…、均为等腰直角三角形（为坐标原点），则下列说法正确的是（）。A、B、、，（）C、D、【答案】ABD【解析】由中点坐标知，而，，B选项正确，，且，解得，则，又，解得，，则，A选项正确，，，同理可求，，…，即，∴，同理，…，，则，C选项错误，，D选项正确，故选ABD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，在梯形中，、、，若，则。【答案】【解析】∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴。另解：如图建系，过做，垂足为，∵，∴，设、，则，又，∴，∴，又，∴，∴。14．设随机变量，函数没有零点的概率是，则。附：若，则，，。【答案】【解析】∵函数没有零点，∴二次方程无实根，∴，∴，又∵没有零点的概率是，∴，由正态曲线的对称性知，∴，∴。15．过圆：上的动点作圆：的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为。【答案】【解析】如下图所示，过圆：上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，则、、，则且为锐角，∴，同理可得，∴，则为等边三角形，连接交于点，∵为的角平分线，则为的中点，∴，且，∴，若圆内的点不在任何切点弦上，则该点到圆的圆心的距离应小于，即圆内的这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部，∴圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为。16．将边长为、锐角为的菱形沿较长的对角线折叠成大小为的二面角，若该菱形折叠后所得到的三棱锥内接于表面积为的球，则的值为。【答案】【解析】设菱形为，，，则较长的对角线为，设与交于点，沿折叠成三棱锥，则，，由题意可知该菱形折叠后所得到的三棱锥的外接球半径，空间几何体外接球球心一定在过底面外接圆圆心且垂直与底面的垂线上，设外接圆圆心为，∵，∴在外，且，设外接圆圆心为，∵，∴在外，且，∴三棱锥的外接球球心为，则一定为过且垂直于平面的垂线与过且垂直于平面的垂线的交点，作出剖面，则在中，，，又在中，、，∴，∴，∴，∴。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）如图所示，为内一点，且满足，，。（1）求的面积；（2）若关于的对称点为，且，，求的值。【解析】（1）在中，由余弦定理得：，即，即，解得（可取）或（舍去），3分∴；4分（2）设，由对称性可知，在中，由正弦定理，∴，则，6分∴，又为锐角，∴，8分∴。10分18．（本小题满分12分）在数列中，，，且、。（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和。【解析】（1）证明：∵，、，当、时，数列是首项为、公比为的等比数列，即，，2分当、时，数列是首项为、公比为的等比数列，即，，4分∴，，∴，∴数列是首项为、公比为的等比数列；6分（2）解：由（1）得，则，7分∴，9分上式减下式得：，∴。12分19．（本小题满分12分）如图所示的斜三棱柱中，，、、。（1）求证：平面⊥平面；（2）求二面角的正切值的大小。【解析】（1）证明：在中，∵，∴⊥，1分又∵⊥且、是平面内的两条相交直线，∴⊥平面，3分又平面，∴平面⊥平面；4分（2）解：在中，∵+=，∴⊥，又∵⊥且、是平面内的两条相交直线，∴⊥平面，5分∴以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，6分则、、、，由=得，7分取平面的一个法向量，8分设平面的一个法向量，由得，取，则，10分∴，11分设的大小为，∴，∴，∴二面角的正切值的大小为。12分20．（本小题满分12分）某传输设备由奇数根相同的光导纤维并联组成，每根光导纤维能正常传输信号的概率均为（），且每根光导纤维能否正常传输信号相互独立。已知该设备中有超过一半的光导纤维能正常传输信号，这个传输设备才可以正常工作。记（，）根光导纤维组成的这种传输设备可以正常工作的概率为。（1）用表示；（2）当时，证明：；（3）为提高这个传输设备正常工作的概率，在这个传输设备上再并联两根相同规格的光导纤维，且新增光导纤维后的传输设备有超过一半的光导纤维能正常传输信号才可以正常工作。确定的取值范围，使新增两根光导纤维可以提高这个传输设备正常工作的概率。【解析】（1）由题设知表示根光纤中至少有根能正常传输信号的概率，∴；3分（2）证明：当时，，∵，∴；6分（3）根光纤中至少根能正常传输信号，这个传输设备才可以正常工作，∴新增的两根光纤都能正常工作、仅有一个能正常工作、都不能正常工作时，根光纤组成的传输设备可以正常工作的概率分别设为、、，7分则，，，8分∴新增两根光纤这个传输设备能正常工作的概率为：，9分∴，10分∵，，解得，∴当的取值范围为时，新增两根光纤可以提高传输设备正常工作的概率。12分21．（本小题满分12分）设为椭圆：（）上任意一点，、为椭圆的焦点，，离心率为。（1）求椭圆的标准方程；（2）直线：（）与椭圆交于、两点，试问参数和满足什么条件时，直线、、的斜率依次成等比数列；（3）在（2）的条件下求面积的取值范围。【解析】（1）由椭圆的定义可得，可得，由可得，，则椭圆方程为；3分（2）设点、，由消去得：，5分∵直线与椭圆交于不同的两点，∴，解得，6分由韦达定理得，，，由题意知，，即，即为，即有，即，即，∴；8分（3）设点到直线的距离为，则，，10分由（2）可得，∴，则，由时，，仅有一个交点，则最大值取不到，则面积的取值范围是。12分22．（本小题满分12分）已知（）对于恒成立。（1）当时，求的最小值；（2）当时，求的最小值。【解析】（1）当时，，令，定义域为，则，令，解得，2分当时，，∴在内单调递增，当时，，∴在内单调递减，∴在处取得极大值也是最大值，∴，又当时，，当时，，，∴，即的最小值为；5分（2）设，则为直线，∵，∴斜率为正，为最小值时，即直线的截距为负，当为的切线时，截距最小，设切点为，则，7分∴，∴，解得，∴，设，，9分，令，解得，，又，∴当时，，∴在单调递减，当时，，∴在单调递增，∴在处取得极小值也是最小值，∴，即的最小值为。12分