2023年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）风向卷（二）【全国专用】（教师版）

机密启用前 姓名准考证号2023年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)风向卷（二）注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U，集合A，B(A≠B)为其子集，若B∩(∁UA)＝∅，则A∪B＝( )A．∁UAB．∁UBC．AD．B【答案】C 【解析】集合的关系、集合的基本运算.因为B∩(∁UA)＝∅且A≠B，则有BA，所以A∪B＝A．故选C．2．复数z＝1−ii＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B 【解析】复数的运算及其几何意义.因为z＝1−ii＋2i＝1i－1＋2i＝－i－1＋2i＝－1＋i，所以复数z在复平面内对应的点为(－1，1)，位于第二象限，故选B．3．设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝2a5，则S7S4＝( )A．74B．－1C．1D．54【答案】C 【解析】等差数列的性质、等差数列前n项和.在等差数列{an}中，2a5＝a4＋a6，a4＝2a5，故a6＝0.又2a6＝a5＋a7，所以a7＝－a5，则S7＝S4＋a5＋a6＋a7＝S4，故S7S4＝1.故选C．4．若实数x，y满足约束条件2x+y−4≤0,2x−y+1≥0,x−2y+2≤0,则目标函数z＝3x－y的最大值为( )A．2B．125C．225D．5【答案】A 【解析】本题考查线性规划．根据实数x，y满足的约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示(含边界)．将目标函数z＝3x－y化为y＝3x－z，平移直线y＝3x，可知直线y＝3x－z经过点C时z取得最大值．联立x−2y+2=0,2x+y−4=0,得C65,85.所以zmax＝65×3－85＝2.故选A．8．在△ABG中，已知BE→＝38BG→，AF→＝13AG→，AE与BF交于点O，则AO→＝( )A．27AB→＋13BG→ B．45AB→＋310BG→C．47AB→＋314BG→ D．314AB→＋47BG→【答案】C 【考点】平面向量的线性运算【详解】如图，过点E作直线EH∥BF交AG于点H.因为BE→＝38BG→，所以FHHG＝BEEG＝35，因为AF→＝13AG→，所以设AF＝1，则FG＝2，所以FH＝2×38＝34.因为EH∥BF，所以AOAE＝AFAH＝11+34＝47，所以AO→＝47AE→＝47(AB→＋BE→)＝47AB→+38BG→＝47AB→＋314BG→.故选C．【关键点拨】平面向量的线性运算要多考虑结合平面几何中的位置关系和数量关系求解，例如本题中的三角形相似比．6．记一年为365天，我们可以把(1＋1%)365看作每天的“进步”率都是1%，一年后的值是1.01365，而把(1－1%)365看作每天的“退步”率都是1%，一年后的值是0.99365.照此计算，若要使“进步”后的值是“退步”后的值的10倍，则大约需经过(参考数据：lg1.01≈0.00432，lg0.99≈－0.00436)( )A．100天B．108天C．115天D．124天【答案】C 【解析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的换底公式．设大约需经过x天“进步”后的值是“退步”后的值的10倍，则1.01x＝10×0.99x，即1.01x0.99x＝10，1.010.99x＝10，所以x＝log1.010.9910＝lg10lg1.010.99＝1lg1.010.99＝1lg1.01−lg0.99≈10.00432+0.00436≈115(天)．所以若要使“进步”后的值是“退步”后的值的10倍，则大约需经过115天．故选C．7．若圆x2＋y2＝4的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则|AB|的最小值为( )A．4B．42C．6D．8【答案】A 【解析】本题考查直线与圆的位置关系．由题意设切线方程为xa＋yb＝1(a≠0且b≠0)，即bx＋ay－ab＝0.由题可知该圆的圆心为(0，0)，半径为2，所以圆心到切线的距离d＝|0+0−ab|a2+b2＝2，所以|a|·|b|＝2a2+b2≤a2+b22(当且仅当|a|＝|b|时取等号)．令t＝a2+b2(t＞0)，则t2－4t≥0，解得t≥4，所以t的最小值为4.由题意知t＝|AB|，所以|AB|的最小值为4.故选A．【一题多解】由题意设切点坐标为(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)，A(xA，0)，B(0，yB)，则x02＋y02＝4，切线方程为xx0＋yy0＝4，得yB＝4y0，xA＝4x0，|AB|＝xA2+yB2＝16x02+y02x02y02＝8|x0y0|，x02＋y02＝4≥2|x0y0|(当且仅当|x0|＝|y0|＝2时取等号)，则|AB|≥4.故选A．【关键点拨】若在解题过程中涉及直线的横截距和纵截距，则可以设直线的截距式方程xa＋yb＝1(a≠0且b≠0)．8．已知(x3＋a)2x−1x26的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为( )A．80B．160C．240D．320【答案】D 【解析】本题考查二项式定理．令x＝1，得(1＋a)(2－1)6＝3，解得a＝2.已知2x−1x26展开式的通项Tr＋1＝C6r(2x)6－r·−1x2r＝(－1)r26－rC6rx6－3r，则(x3＋2)2x−1x26展开式中常数项为2×(－1)2×26－2×C62＋(－1)3×26－3×C63＝320.故选D．9．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω>0,|φ|<π2的最小正周期为π，且其图像向左平移π6个单位长度后所得图像对应的函数g(x)为奇函数，则f(x)的图像( )A．关于直线x＝π3对称B．关于点5π12,0对称C．关于直线x＝－π6对称D．关于点π6,0对称【答案】D 【解析】本题考查三角函数的图像与性质．由函数f(x)的最小正周期T＝π可得T＝2πω＝π，则ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，将其图像向左平移π6个单位长度可得g(x)＝2sin[2x+π6＋φ]＝2sin2x+π3+φ的图像．若要使函数g(x)为奇函数，则π3＋φ＝kπ，k∈Z.因为|φ|<π2，所以φ＝－π3，所以f(x)＝2sin(2x－π3)．函数f(x)图像的对称轴方程为2x－π3＝π2＋kπ，k∈Z，即x＝5π12＋kπ2，k∈Z，可得A，C选项错误．由函数f(x)图像的对称中心的性质得2x－π3＝kπ，k∈Z，即对称中心的横坐标为x＝kπ2＋π6，k∈Z，可得D选项正确，B选项错误．故选D．【快解】求出f(x)＝2sin2x−π3后，可以直接带入选项中的答案验证．当x＝π6时，f(x)＝0，所以f(x)的图像关于点π6,0对称．故选D．10．已知函数f(x)＝12(ex＋e－x)，记a＝f21π，b＝flogπ12，c＝f(π)，则a，b，c的大小关系为( )A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．b＜c＜a【答案】C 【解析】本题考查函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性再比较函数值的大小．因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝12(e－x＋ex)＝f(x)，所以f(x)在R上为偶函数．当x>0时，f′(x)＝12(ex－e－x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则b＝f(logπ12)＝f(logπ2)．所以00，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于A，B两点．若BF1→·BF2→＝0，且cos∠F1AF2＝45，则该双曲线的离心率为( )A．2B．32C．52D．102【答案】D 【解析】本题考查双曲线的定义及离心率的相关计算．设|AF1|＝m，因为BF1→·BF2→＝0，且cos∠F1AF2＝45，所以在Rt△ABF1中，sin∠F1AF2＝35，|BF1|＝35m，|AB|＝45m.由双曲线的定义得|BF2|＝35m－2a，|AF2|＝m－2a.因为|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以有m－2a＋35m－2a＝45m，解得m＝5a.所以在Rt△BF1F2中，|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，即9a2＋a2＝4c2，所以a2＝2c25，解得离心率e＝102.故选D．【关键点拨】设|AF1|＝m，根据BF1→·BF2→＝0，且cos∠F1AF2＝45，结合双曲线的定义求得m＝5a，然后在Rt△BF1F2中利用勾股定理得出关于a与c的关系式后即可得解．12．已知函数f(x)＝xex+1e,x≤0,x2−2x,x>0.若函数y＝f(f(x)－a)有四个零点，则实数a的取值范围为( )A．0,1eB．1,1+1eC．(2，e)D．(－1，e)【答案】B 【解析】本题考查分段函数求零点问题．已知函数f(x)＝xex+1e,x≤0,x2−2x,x>0.当x>0时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1.当x≤0时，f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＝0，解得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，且f(0)＝1e，当x→－∞时，f(x)→1e.综上，作出函数f(x)的大致图像，如图．由图可知，函数f(x)有两个零点，即x＝－1和x＝2，(*)由(*)式可知，f(x)－a＝－1或f(x)－a＝2，即f(x)＝a－1或f(x)＝a＋2时满足题意．根据题意，这两个方程共有四个根，即函数f(x)的图像与直线y＝a－1和直线y＝a＋2共有四个交点．结合f(x)的图像可知，当a－1∈(－1，0]时，a＋2∈(2，3]，此时函数f(x)的图像与直线y＝a－1和y＝a＋2有三个交点，即方程有三个根；当a－1∈0,1e时，a＋2∈3,1e+3，此时函数f(x)的图像与直线y＝a－1和y＝a＋2有四个交点，即方程有四个根，此时a∈1,1e+1；同理，当a－1∈1e,+∞时，方程有两个根．综上，a∈1,1+1e满足题意．故选B．【关键点拨】对于函数零点的判定，通常可以采用数形结合的方法，结合函数图像得出零点个数．对于复合函数，如y＝f(f(x))这类函数问题，可以采用换元法，由里到外一层一层分析．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知递增的等比数列{an}的每一项都是正数，其前n项和为Sn.若a2＋a4＝30，a1a5＝81，则S6＝________．【答案】364 【解析】本题考查等比数列的通项公式，求和公式．设等比数列{an}的公比为q，由a1a5＝81，得a2a4＝81，联立a2a4=81,a2+a4=30,解得a2=3,a4=27或a2=27,a4=3.因为{an}为递增数列，所以a2=3,a4=27,即a1q=3,a1q3=27,解得q2＝9.又因为等比数列{an}的每一项都是正数，所以q＝3，a1＝1，所以S6＝a11−q61−q＝1−361−3＝364.14．某几何体的三视图如图所示，若网格纸上的小正方形的边长为1，那么该几何体的表面积为________．【答案】92＋18 【解析】本题考查空间几何体的三视图及表面积．根据题中三视图还原几何体如图所示，该几何体是一个底面为正方形的四棱锥P－ABCD，将其补形成一个正方体．易知PB⊥平面ABCD，BC⊥平面PAB，则△PAD，△PCD，△PBC，△PAB均为直角三角形，故S表面积＝S△PAD＋S△PCD＋S△PBC＋S△PAB＋S正方形ABCD＝12×(3×32＋3×32＋3×3＋3×3)＋3×3＝92＋18.15．已知命题p：f(x)＝lg(ax