数学试题+答案

2023本试卷共6页，22小题，满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合Mxxkπ，kZ，Nxxkπ，kZ，则2A．MNB．MNNC．MNZD．MNN2．已知zai，且z22zb0，其中a，b为实数，则A．a1，b2B．a1，b2C．a1，b0D．a1，b03．双曲函数起初用来描述一些物理运动过程，后来又大量应用于计算机科学、经济和金exex融领域．若双曲正切函数为tanhx，则tanhxexexA．是偶函数，且在R上单调递减B．是偶函数，且在R上单调递增C．是奇函数，且在R上单调递减D．是奇函数，且在R上单调递增24．设a，b是两个单位向量，若ab在b上的投影向量为b，则cosa，b3A．1B．1C．22D．2233335．甲、乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人．若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有A．36B．72C．144D．288《新高考学科基地秘卷》命题数学试卷第1页（共6页）6．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩W1xy2．6x根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为yA．1B．222C．1D．27.已知函数f(x)sin(x)0，π的最小正周期为T，f()x是f()x的导函数，2设g()()()xfxfx．若g()x是奇函数，且g()x的最大值为5，则f()T8A．10B．10C．5D．51010552y28．已知椭圆C:x1(ab0)的离心率为2，左顶点是A，左、右焦点分别是F，a2b231F2，M是C在第一象限上的一点，直线MF1与C的另一个交点为N．若MF2//AN，且△ANF的周长为7a，则直线MN的斜率为22A．5B．15C．23D．53776二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。．在三棱柱中，，，是中点，则9ABCA1B1C1ABACB1CBC1DBCA．直线AC1与A1D异面B．直线AD//平面A1BC1C．直线AA1平面ABCD．直线BC平面A1AD10.根据《国家学生体质健康标准》规定，学生的体测得分由各单项指标得分与权重乘积之和组成，为了科学衡量个体体质在全体中的位置，通常将体测得分转化为标准分数．某校一次体能测试中，各同学体测得分为xi，所有同学的体测平均得分为x，标准差为s，定义标准分数y1xx，则isi《新高考学科基地秘卷》命题数学试卷第2页（共6页）A．转化标准分数后的极差是转化前极差的1sB．转化标准分数后的平均分数为0C．转化标准分数后的中位数是转化前中位数的1sD．转化标准分数后的标准差等于12x2y11．已知双曲线C:1(a0，b0)的离心率为3，FF1，2是C的左、右焦点．a2b2经过点F2的直线l与C的一条渐近线垂直，且与C交于A，B两点，则A．C的渐近线方程为y2xB．点F1到直线l的距离为2aC．AF1BF1D．AB4a12．设实数a，b，c都不为零，且baea，cbeb，则A．b≥1B．c1C．cbaD．cbbae4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.1a1x5展开式中的常数项为6，则a．x14．甲、乙两个机器人分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．若甲、乙到达对方起点后立即返回，则它们第二次相遇需要经过分钟．15．已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，M是AC11上一点，且A1M2MC1．经过点M作平面截正方体的外接球，则截得的截面面积的最小值为．16．设A(1，0)，B(cos，sin)，0π，C(cos，sin)，O为坐标原点．若AB//OC，2且△BOC的面积是△AOB的面积的2倍，则AC．《新高考学科基地秘卷》命题数学试卷第3页（共6页）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本题10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ba2acosC．（1）证明：CA2；（2）若a3，sinA1，求△ABC的面积．318．（12分）1已知数列a满足a，(2a)a1．n13nn11（1）证明：数列是等差数列，并求数列an的通项公式；1an2221（2）设数列a的前n项的积为T，证明：TTT+++．nn12n2《新高考学科基地秘卷》命题数学试卷第4页（共6页）19．（12分）如图，在多面体ABCDE中，已知平面AEC⊥平面ABC，△AEC是边长为2的正三角形，AB⊥BC，∠CAB∠CAE，四边形ABDE为平行四边形．E（1）求多面体ABCDE的体积；（2）求直线AD与平面CDE所成角的正弦值．DACB（第19题）20．（12分）某兴趣小组为研究一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，设A“患有地方性疾病”，B“卫生习惯良好”．据临床统计显示，P(A|B)3，P(B|A)12，该地人群中卫生习惯良好的概率为4．4135（1）求P(A)和P(A|B)，并解释所求结果大小关系的实际意义；（2）为进一步验证（1）中的判断，该兴趣小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为m(mN)的样本，利用独立性检验，计算得K22.640．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的k(kN)倍，使得能有99.9%的把握肯定（1）中的判断，试确定k的最小值．参考公式及数据：n(adbc)2K2；P(K2≥6.635)0.010；P(K2≥10.828)0.001．(ab)(cd)(ac)(bd)《新高考学科基地秘卷》命题数学试卷第5页（共6页）21．（12分）2已知抛物线T:y4x，点P(2，0)，过点Q(4，0)的直线交T于A()()x1，，，y1Bx2y2两点，直线AP，BP与T的另一个交点分别为C()()x3，，，y3Dx4y4．（1）证明：y1y2y3y4为定值；（2）经过点P且与x轴垂直的直线与AD，BC分别交于点EF，，求证：PEPF．22.（12分）ax1lnx已知函数f(x)e．xx（1）若a0，关于x的不等式f(x)m恰有两个整数解，求m的取值范围；（2）若f()x的最小值为1，求a．《新高考学科基地秘卷》命题数学试卷第6页（共6页）2023一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。12345678DBDABBAB二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9101112ADABDBCDAC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。61013.1114．1515．4π16．或922四、解答题：本题共6小题，共70分。17．（本题10分）【解】（1）因为ba2acosC，由正弦定理得sinBAACsin2sincos，所以sin(ACAAC)sin2sincos，……2分即sinACACAACcoscossinsin2sincos，所以cosACACAsinsincossin，即sin(CAA)sin．……4分因为πCAπ，0Aπ，所以CAA或()CAAπ，即CA2或Cπ（不合），所以CA2，得证．……5分（2）△ABC中，由正弦定理得ac，sinACsin即casinCasin2A2acosA，sinAAsin22因为sinA1，0Aπ，所以cosA．323又a3，所以c42．……7分由cosCAAcos212sin27，9《新高考学科基地秘卷》命题数学答案第1页（共7页）所以ba(12cosC)32323，……9分93所以△ABC的面积S1bcsinA123421462．……10分2233918．（12分）1【解】（1）由(2an)an11，得an1，2an2a所以1111n11（常数）．……3分1a1a11a1a1an1n1nnn2an113因为a1，所以，31a1213所以数列是首项为，公差为1的等差数列．……4分1an2132n12n1由n1，所以an．……6分1an222n1（2）因为Taaaa1352n11，……8分n122n3572n12n1所以T211111，……10分n(2n1)2(2n1)(2n1)22n12n1所以TTT2+2++2111111112n23352n12n11111，得证．……12分22n1219．（12分）【解】（1）取AC的中点O，连结OE．因为△AEC为正三角形，所以OE⊥AC，又平面AEC⊥平面ABC，平面AEC∩平面ABCAC，OE平面AEC，所以OE⊥平面ABC．……2分又正△AEC的边长为2，故OE3．因为四边形ABDE为平行四边形，所以VVABCDE2CABE．而VV1SOE1(113)31，CABEEABC3△ABC322故VABCDE1．……5分（2）由（1）知，以O为坐标原点，OC，OE分别为y轴，z轴，在平面ABC内《新高考学科基地秘卷》命题数学答案第2页（共7页）过点O且垂直于OC的直线为x轴，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz．依题意，AB⊥BC，∠CAB°，CA，Ez则A(0，1，0)，C(0，1，0)，B(3，1，0)，E(0，0，3)．……6分22D故CE(0，1，3)．CAOy又四边形ABDE为平行四边形，B所以EDAB(3，1，0)．x22设D()a，b，c，则(a，，bc3)(3，1，0)，所以a3，，b1c3，2222故D(3，，13)，所以AD(3，，33)．……8分2222设平面CDE的一个法向量为p()x2，，y2z2，y3z0，pCE0，22则即取y3，则z1，x1，31221pED0xy0，2222所以p(1，3，1)．……10分3333ADp2210所以cosAD，p．ADp655所以直线AD与平面CDE所成角的正弦值为10．……12分520．（12分）【解】（1）因为该地人群中卫生习惯良好的概率为4，所以P(B)4，P(B)1．555因为P(A|B)3，P(B|A)12，413P()ABP()AB所以P(A|B)1，P(B|A)1，即1，1．41