吉林省长春市第十七中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版）

长春市第十七中学2022—2023学年度下学期期末考试高二数学试题（满分150分，时间120分钟）一、单选题（本题8小题，每小题5分，满分40分）1.（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合诱导公式和三角恒等变换公式即可求解.【详解】因为所以故选：C2.已知函数，则的值为（）A. B. C.10 D.20【答案】D【解析】【分析】根据导数的定义可得，再用求导公式可得，代入即可得解.【详解】因为，所以，所以.故选：D3.已知，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过构角，再利用诱导公式即可求出结果.【详解】因为，又，所以，故选：B.4.曲线在点处切线斜率为（）A.0 B.1 C.-1 D.2【答案】A【解析】【分析】对函数求导，利用导数的几何意义求，即可得答案.【详解】由，则，所以点处的切线斜率为.故选：A5.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题利用导函数的性质，便可以解题.，函数为增函数，，函数为减函数，根据导函数图形找到对应区间就可以得出答案.【详解】由图象知，当或时，，函数为增函数，当或时，，函数为减函数，对应图象为A.故选：A．6.已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（）．A B.e C. D.【答案】C【解析】【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C．7.已知为锐角，，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为，而为锐角，解得：．故选：D．8.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则在上的最大值为（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式化简函数，再利用给定变换及性质求出，利用正弦函数的性质求出最大值作答.【详解】依题意，，于是，由，知直线是函数图象的对称轴，则，而，则，，当时，，，当且仅当时，，所以当时，取得最大值.故选：A二、多选题（本题4小题，每小题5分，少选2分，选错0分，满分20分）9.下列说法正确的是（）A.轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为B.若，则C.已知为锐角，，角的终边上有一点，则D.在范围内，与角终边相同的角是和【答案】ABD【解析】【分析】对于A，根据扇形相关知识计算即可；对于B，根据角的范围判断正弦值和余弦值的符号，结合诱导公式和同角三角函数的平方关系化简即可；对于C，通过同角三角函数关系和三角函数定义求得，，再通过两角和的正切公式代入计算即可；对于D，根据终边相同的角的概念直接判断.【详解】对于A，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，设其母线长为，则其底面圆的直径为，则圆锥侧面展开图的半径（即圆锥母线长）为，弧长（即底面周长）为，所以其侧面展开图的圆心角的弧度数为，故A正确；对于B，若，则，则，则，故B正确；对于C，若为锐角，，则，则，角的终边上有一点，则，则，故C错误；对于D，在范围内，与角终边相同的角是和，故D正确.故选：ABD10.若函数既有极大值也有极小值，则（）．A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.【详解】函数的定义域为，求导得，因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，因此方程有两个不等的正根，于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.故选：BCD11.下列说法不正确的是（）A.存在，使得B.函数的最小正周期为，且图象关于轴对称C.函数的一个对称中心为D.若角的终边经过点，则角是第三象限角【答案】ABC【解析】【分析】利用正弦函数、余弦函数的性质逐项分析判断作答.【详解】对于A，由，知，而，因此不存在，使得，A错误；对于B，函数的最小正周期为，B错误；对于C，当时，，因此点不是函数的对称中心，C错误；对于D，因为，所以角是第三象限角，D正确.故选：ABC12.已知函数在R上满足，且当时，成立，若，则下列说法正确的有（）A.为奇函数 B.为奇函数C.在R上单调递减 D.【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义判断AB；构造函数，利用导数探讨单调性推理判断CD作答.【详解】因为函数在R上满足，则函数是R上的偶函数，A错误；令，则，则函数是R上的奇函数，B正确；当时，，则函数在上单调递减，且，由选项B知，函数在上单调递减，因此在R上单调递减，C正确；显然，由选项C知，，因此，D正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.三、填空题（本题4小题，每小题5分，满分20分）13.已知函数，则函数的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出函数，进而求出，再利用导数求出最大值作答.【详解】函数定义域为，求导得，当时，，解得，因此函数，，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，.故答案为：14.若角的终边落在直线上，角的终边与单位圆交于点，且，则________.【答案】【解析】【分析】由题可得，，然后利用三角函数的定义可得，，即得.【详解】由角的终边与单位圆交于点，得，又，∴，因为角的终边落在直线上，所以角只能是第三象限角．记P为角的终边与单位圆的交点，设，则，即，又，解得，即，因为点在单位圆上，所以，解得，即，所以.故答案为：.15.当时，__________（填或）【答案】【解析】【分析】根据给定条件，构造函数并探讨该函数的单调性即可判断作答.【详解】当时，令，求导得，令，求导得，函数，即在上单调递增，有，则函数在上单调递增，即有，所以.故答案为：16.已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，__________.【答案】##【解析】【分析】设，依题可得，，结合的解可得，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．【详解】设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，．因为，所以，即，．所以，所以或，又因为，所以，．故答案为：．四.解答题（本题6小题，满分70分）17.已知．（1）化简；（2）已知，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的诱导公式结合同角的三角函数关系化简，即可得答案.（2）利用二倍角正弦公式，结合齐次式法求值，可得答案.【小问1详解】由题意得.【小问2详解】由，可得，则.18.已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）证明：.【答案】（1）递减区间是，递增区间是，极小值为，无极大值；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出单调区间、极值作答.（2）由（1）的结论，求出函数的最小值作答.【小问1详解】函数的定义域为R，求导得，当时，，当时，，所以函数的递减区间是，递增区间是，在处取得极小值，无极大值.【小问2详解】由（1）知，，函数在处取得最小值，即，，所以.19.机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份12345违章驾驶人次1251051009080（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次与月份之间的关系，求关于的回归方程，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次；（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：不礼让行人礼让行人驾龄不超过2年2416驾龄2年以上2624能否据此判断有90%把握认为“礼让行人行为与驾龄有关？并用一句话谈谈你对结论判断的体会.附：，.，其中.0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1），；（2）没有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关，礼让行人是一种良好的驾驶习惯，无论驾龄多少，都需遵守规章，礼让行人.【解析】【分析】（1）由已知求得，进一步套公式求出和的值，就求出线性回归方程，再令即可故居；（2）补全列联表，根据数据计算，并下结论.【详解】解：（1）由表中数据知，，，所以，，所以，所以，所以令，则人，故预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次为人次.（2）根据表中的列联表补全得下表：不礼让行人礼让行人合计驾龄不超过2年241640驾龄2年以上262450合计504090故，所以没有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关礼让行人是一种良好的驾驶习惯，无论驾龄多少，都需遵守规章，礼让行人.【点睛】方法点睛：（1）求线性回归方程的步骤：①先求x、y的平均数；②套公式求出和的值：，；③写出回归直线的方程.（2）独立性检验的题目直接根据题意完成完成2×2列联表,直接套公式求出,对照参数下结论.20.已知曲线在处的切线方程为.（Ⅰ）求值.（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）利切点为曲线和直线的公共点，得出，并结合列方程组求出实数、的值；（Ⅱ）解法1：由，得出，将问题转化为直线与曲线的图象有两个交点时，求出实数的取值范围，然后利用导数研究函数的单调性与极值，借助数形结合思想得出实数的取值范围；解法2：利用导数得出函数的极小值为，并利用极限思想得出当时，，结合题意得出，从而得出实数的取值范围．【详解】（Ⅰ），，；（Ⅱ）解法1：，函数有两个零点，相当于曲线与直线有两个交点.，当时，在单调递减，当时，在单调递增，时，取得极小值，又时，；时，，；解法2：，，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，时，取得极小值，又时，，.【点睛】本题考查导数几何意义，以及函数的零点个数问题，对于直线与函数曲线相切的问题，一般要抓住以下两点：（1）切点为切线和函数曲线的公共点，于此可列等式；（2）导数在切点处的导数值等于切线的斜率．21.已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.（1）求的解析式和单调递增区间.（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.（3）设，若恒成立，求实数c的最小值.【答案】（1），单调递增区间为，；（2）（3）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简条件式，结合三角函数的性质即可得出结果；（2）利用三角函数图象变换结合三角函数的性质即可；（3）化简得出，利用换元法结合三角函数的性质求其最大值即可判断c的最小值.【小问1详解】化简原函数式又为奇函数，且相邻两对称轴距离，故，即令所以，单调递增区间为；【小问2详解】由（1）知，向右平移个单位长度得，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），得到，当时，，所以，则，故的值域为；【小问3详解】结合（1）得，令，则又，故，由二次函数的性质可知，故恒成立等价于，所以的最小值为.22.随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：笔试成绩X人数5153530105（1）假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；（2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结