理科数学-2024届新高三开学摸底考试卷（课标全国专用）03(解析版)

2024届新高三开学摸底考试卷（课标全国专用）03理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为，又，所以.故选：D2．若复数满足，则（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先根据复数除法的运算求出复数，再由模长公式计算模长即可求解【详解】因为，所以.故选：C.3．已知，，．．．，的平均数为10，标准差为2，则，，．．．，的平均数和标准差分别为（    ）A．19和2 B．19和3 C．19和4 D．19和8【答案】C【分析】根据平均数和标准差的性质可得选项.【详解】解：∵，，…，的平均数为10，标准差为2，∴，，…，的平均数为：，标准差为：．故选：C．【点睛】本题考查平均数和标准差的运算性质，属于基础题.4．下列函数中，既是奇函数，又在R上单调递增的函数有（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函数奇偶性排除选项AB；由定义域排除选项D；再求导判断单调性判断C作答.【详解】对于C，令，其定义域为R，而，即函数是偶函数，A错误；对于B，函数的定义域为R，是非奇非偶函数，B错误；对于A，令，其定义域为R，，即是奇函数，，当且仅当时取等号，因此函数在R上单调递增，A正确；对于D，函数的定义域为，不符合题意，D错误.故选：A5．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布，则68.27%，95.45%）A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%【答案】B【分析】正态分布中，，根据正态分布的对称性求解即可.【详解】正态分布中，，所以68.27%，95.45%，所以13.59%，故选：B.6．已知圆与圆只有一个公共点，则（   ）A．1 B．4 C．9 D．1或9【答案】D【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意两圆相内切，则圆心距等于半径之差的绝对值，即可得到方程，解得即可.【详解】圆，即，圆心为，半径，圆，圆心，半径为，所以因为两圆只有一个公共点，所以两圆相外切或相内切，显然两圆不能相外切，所以，即，解得或.故选：D7．的图象大致是（    ）A．B．C． D．【答案】C【分析】研究函数的奇偶性，再研究函数值的变化趋势．【详解】是偶函数，排除D，时，，排除A、B．故选C．【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象．解题方法是排除法．可通过解析式研究函数的性质（如奇偶性、单调性、对称性等），排除一些选项，研究函数的特殊值，函数值的正负、函数值的变化趋势等再排除一些选项，直到只剩下一个选项为正确选项．8．“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为，且当训练迭代轮数为时，学习率为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（    ）A．75 B．74 C．73 D．72【答案】C【分析】由已知可得，再由，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可．【详解】由题设可得，则，所以，即，所以所需的训练迭代轮数至少为次．故选：C．9．已知点为坐标原点，直线与抛物线：相交于A，两点，的中点为，若到的准线的距离等于，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据抛物线定义可知直线过抛物线的焦点，从而求出焦点坐标可得的值.【详解】如图，假设直线不过抛物线焦点F，过A、B、M分别做准线的垂线，垂直分别为E、D、G，则GM是直角梯形AEDB的中位线则又因为，所以由定义可知所以A、B、F三点共线由直线可得F的坐标为所以.另解：设A，，联立方程组得，则，，所以到的准线的距离等于．因为，所以，解得．10．如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且，现将沿AE向上翻折，使点移到P点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（    ）  A．存在点P，使得B．存在点P，使得C．三棱锥的体积最大值为D．当三棱锥的体积达到最大值时，三棱锥外接球表面积为4π【答案】A【分析】连接，为中点，连接，确定，，若，得到，重合，不成立，A错误，平面时，，B正确，计算得到CD正确，得到答案.【详解】如图所示：连接，为中点，连接，，连接，，，，，故，故，  对选项A：，若，又，则，重合，不成立，错误；对选项B：当平面时，平面，则，又，，平面，故平面，平面，故，正确；对选项C：当平面时，三棱锥体积最大，最大值为，正确；对选项D：平面，平面，故，，故，故是三棱锥外接球球心，半径为，故外接球表面积为，正确.故选：A.11．函数在内的值域为,则的取值范围为A． B． C． D．【答案】A【解析】根据的取值范围，求出的取值范围，再根据函数的值域得到即可解得.【详解】解：函数，因为，,∴，所以，解得,故的取值范围为.故选：【点睛】本题考查余弦函数的性质的应用，属于基础题.12．12．设，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得解.【详解】因为，所以，所以，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以，令，则，所以函数在上递增，所以，即，即，所以，即，综上，.故选：B.【点睛】关键点点睛：构造函数，，利用中间量来比较的大小是解决本题的关键.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答）【答案】40【分析】根据二项式系数和为，求出，即可求出二项式展开式中常数项.【详解】因为二项式系数和，因此，又，令，常数项为.故答案为：40.14．已知数列满足，，若，，则的值为______.【答案】或【分析】由等比的定义结合其性质得出的值.【详解】因为，，所以数列为等比数列，设其公比为q.由，，得，，所以.当时，，则；当时，，则.综上，的值为或.故答案为：或15．已知是双曲线的左焦点，是的右顶点，过点作轴的垂线交双曲线的一条渐近线于点，连接交另一条渐近线于点.若，则双曲线的离心率为__________.【答案】2【分析】根据题意即可得出，所以，再由可得为的中点，即，代入另一条渐近线可得，即可计算出离心率为.【详解】如下图所示：  易知，则过点作轴的垂线方程为，不妨设与渐近线交于点，则可得，又可得，为的中点，即；又在另一条渐近线上，即，解得；所以双曲线的离心率为.故答案为：216．在三棱锥中，PA⊥平面ABC，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积为______．【答案】【分析】根据棱锥体积公式及基本不等式可得体积最大，然后利用长方体的性质及球的体积公式即得.【详解】由题可知三棱锥的体积为：，当且仅当时等号成立，此时，，将三棱锥补成长方体，则三棱锥外接球的直径为，则，因此，三棱锥外接球的体积为.故答案为：.三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．已知数列满足，（）.记(1)求证：是等比数列；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由等比数列定义证明即可；（2）使用错位相减法求和即可.【详解】（1）由已知，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴易知数列中任意一项不为，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由第（1）问，，∴，∴设数列的前项和为，则①，①得，②，①②得，，∴，∴.∴数列的前项和为.18．某体育频道为了解某地电视观众对卡塔尔世界杯的收看情况，随机抽取了该地200名观众进行调查，下表是根据所有调查结果制作的观众日均收看世界杯时间（单位：时）的频率分布表：日均收看世界杯时间（时）频率0.10.180.220.250.20.05如果把日均收看世界杯的时间高于2.5小时的观众称为“足球迷”．(1)根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关；非足球迷足球迷合计女70男40合计(2)将样本的频率分布当作总体的概率分布，现从该地的电视观众中随机抽取4人，记这4人中的“足球迷”人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关(2)分布列见解析，【分析】（1）由频率分布表求出“足球迷”对应的频率即可得到样本中“足球迷”的人数，从而完善列联表，计算出卡方，即可判断；（2）由（1）从该地的电视观众中随机抽取人，其为“足球迷”的概率，则，求出相应的概率，从而得到分布列与数学期望.【详解】（1）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为，则在抽取的人中，“足球迷”有人，所以列联表如下：非足球迷足球迷合计女70男40合计所以，所以有的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关.（2）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为，所以从该地的电视观众中随机抽取人，其为“足球迷”的概率，所以，即的可能取值为、、、、，所以，，，，，所以随机变量的分布列为所以.19．在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．  (1)证明：平面．(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由等边三角形三线合一，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可证明；（2）方法一：建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量法计算即可；方法二：作，垂足为M，作，垂足为N，连接，首先由线面垂直得出，则二面角的平面角为，在中，求出即可．【详解】（1）证明：连接OB，因为为等腰直角三角形，，，所以，因为O为AC边的中点，所以，在等边三角形中，，因为O为AC边的中点，所以，则，又，所以，即，因为，平面，平面，所以平面．  （2）方法一：因为是等腰直角三角形，，为边中点，所以，由（1）得平面，则以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，  则，，，所以，，设平面的法向量为，由，得，令，得，易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为θ，则，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．方法二：作，垂足为M，作，垂足为N，连接，因为平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又平面平面，所以二面角的平面角为，因为，所以，所以，，在中，，，所以，所以，所以，即二面角的余弦值为．  20．已知动圆经过点，并且与圆相切．(1)求点的轨迹的方程；(2)动直线过点，且与轨迹分别交于，两点，点与点关于轴对称（点与点不重合），求证：直线恒过定点．【答案】(