湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高三上学期开学考试 数学答案

衡阳市八中2024届高三暑期检测数学参考答案：一、单选题12345678DACBACDD1．D2．A3．C4．B【详解】由，有，得，可得，所以.故A，C，D错误.故选：B.5．A【详解】双曲线的渐近线方程为，圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，所以，圆心到直线的距离为，解得，因此，双曲线的离心率的值为.故选：A.6．C【详解】A项，由于，明显有，故正确；B项，因为每个边对应的中心角为，则，所以，又，且，所以，B正确；C项，和方向相反，但长度不等，因此不是一对相反向量，C错误；D项，因为，所以，D正确.故选：C.7．D【详解】对于①：若，则，，关于对称，若为无理数，则也是无理数，，也关于对称，若，并且是既约的真分数，则，并且是互质的，，也是真分数，若不是既约分数，则与必定存在公约数，不妨假设，则有，即存在大于1的公约数，与题设矛盾，故也是既约分数，，即关于对称，故①正确；对于②，时，，故②错误；对于③，当时，有，，但当时，故③错误；对于④，，，构造函数，，则，单调递增，，即当时，，，当时，，，，故④正确；对于⑤，，故⑤正确；故选：D.8．D【详解】不等式可整理为，令，定义域为，则原不等式可看成，，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，上单调递增，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递增，上单调递减，且，所以，即，即，当时，，，所以，解得；当时，，，所以，不成立；综上可得，不等式的解集为.故选：D.二、多选题9101112ABCACDBCAB9．ABC【详解】对选项A，从2010-2019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加，故A正确；对选项B，由于2010-2019年，我国研究生在校女生人数逐年增加，且2019年人数为144.8万，故B正确；对选项C，2017年我国研究生在校女生人数所占比重为48.4%，不足一半，故C正确；对选项D，，故2019年我国研究生在校总人数超过285万，故D项错误.故选：ABC10．ACD【详解】由函数的图象可知，，，则，，由，解得，因为，所以，，所以A正确.令，解得，故B错误.令,解得，所以C正确.对于D，，则，值域为，所以，解得，即实数的取值范围为，故D正确.11．BC【详解】对于A，连接，由题意可知，因为，所以，所以共面，故选项A错误；对于B，连接，由题意可知，所以，故选项B正确；对于C，连接，由正方体的性质可知平面，所以即为直线与平面所成的角，则，故选项C正确；对于D，连接，根据正方体的性质可得，且，所以平面即为过点B，E，F的平面截正方体的截面，该四边形为梯形，其上底，下底为，高为，所以截面面积为，故选项D错误；12．AB【详解】由题意，对于选项A，因为，所以的中垂线与双曲线有交点，即有，解得，故选项A正确；对于选项B，因为，解得，所以，所以，故选项B正确；对于选项C，由题意可得显然不等，故选项C错误；对于选项D，若为右顶点时，则为坐标原点，此时，故选项D错误.三、填空题13．【详解】由已知条件可知二项式系数和为，可得，令，则.故答案为：.14．【详解】由题得在方向上的投影为，又因为，为单位向量，则，所以，所以，即．故答案为：．15．1【详解】由抛物线可得准线方程为，设，由余弦定理可得,由抛物线定义可得P到准线的距离等于，Q到准线的距离等于，M为的中点，由梯形的中位线定理可得M到准线的距离为，则弦的中点M到y轴的距离，故，又，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为1，故答案为：116．．【详解】因为，当时，时，单调递增，不合题意；当时，时，，函数在区间上是严格减函数，则，即；当时，时，，函数在区间上是严格减函数，则，即；当时，，，因此在是单调递增，不合题意；综上，的范围是．故答案为：．四、解答题17．(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为，则化为，即，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，解得，当时，，不满足上式，所以.（2）结合（1）得，，所以，因为，所以．18．(1)3(2)【详解】（1）因为平面四边形存在外接圆，所以，，又，所以，所以的面积．（2）在中，由余弦定理得，解得．在中，由余弦定理得，即．由此得，当且仅当时，等号成立，所以，故的周长．19．（1）证明见解析  （2）【详解】（1）证明：因为侧面底面ABCD，，所以底面ABCD，所以．又因为，即，因此可以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，所以．由底面ABCD，可得，又因为，所以平面．（2）因为，又，设，则，所以．设平面EBD的法向量为，因为，由，得，令，则可得平面EBD的一个法向量为，，，，代入，化简得，解得或，又由题意知，故．20．(1)(2)分布列见解析，【详解】（1）用事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”或“平局”，则，记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件，则事件包括事件共5种，所以.（2）因为，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即，由题意得的所有可能取值为，则，，.所以的分布列为245所以的期望，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，故的最大值为.21．(1)(2).【详解】（1）依题意，解得，所以的方程为.（2）因为不与轴重合，所以设的方程为，设点，则联立，得，则因为点三点共线且斜率一定存在，所以，所以，将代入化简可得，故，解得，满足所以直线过定点，且为椭圆右焦点设所求内切圆半径为，因为，所以令，则，所以，因为，对勾函数在上单调递增，所以，则.所以内切圆半径的范围为.22．(1)答案见解析(2)，理由见解析【详解】（1）由，得，又，所以，则，所以，．当时，令，得或；令，得；所以在和上单调递增，在上单调递减；当时，令，得；令，得或；所以在与上单调递减，在上单调递增．（2），理由如下：因为，由，得，解得或．因为，所以，，是的正根，则，又，所以，，两式相减得．令，，则，得，则．令，则，所以，，可得．设，则，再设，则，所以在上为增函数，则，即，则在上为增函数，从而，所以，即，所以，即．【点睛】关键点睛：本题第2小题的解决关键是利用换元法，将转化为，从而再利用导数处理双变量的方法求解即可.