四川省绵阳南山中学2024届高三上学期零诊考试（9月）文科数学答案

绵阳南山中学2021级高三上期零诊考试试题数学(文科)参考答案一、选择题1．C2．C3．B4．B5．D6．A7．A8．C9．D10．B11．B12．D12.【详解】由题意可得，函数f(x)=-mx2-mx(x≤0)关于原点对称的图象g(x)=mx2-mx与函数f(x)=lnx(x>0)的图象有两个交点，即方程mx2-mx=lnx(x>0)有lnxlnx1-lnx两个根，即m(x-1)=，令h(x)=(x>0)，则h(x)=，xxx2当00，当x>e时，h(x)<0，所以h(x)在0，e上递增，在lnxe，+∞上递减，y=m(x-1)的图象恒过点(1，0)，h(x)=(x>0)的图象也过点(1，xlnx0)，因为h(1)=1，所以h(x)=(x>0)在x=1处的切线方程为y=x-1，由图可知当xlnx01时，h(x)=(x>0)与y=m(x-1)的图象有2个交点，x2即mx-mx=lnx(x>0)有两个根，所以实数m的取值范围为0，1∪1，+∞，故选：D  二、填空题21313．∀x∈-1，1，x-x+3≥014．-15．，39216．2【详解】因为f(x)为奇函数，所以fx=-f-x，且f0=0，又f(x)关于直线x=1对称，所以f1+x=f1-x，所以f2+x=f-x=-fx，则f4+x=-f2+x=fx，所以函数fx是以4为周期的周期函数，作出函数y=fx和y=x+1的图像如图所示：第1页共4页由f(x)=x+1的正数解依次为x1、x2、x3、⋅⋅⋅、xn、⋅⋅⋅，则lim(xn+1-xn)的几何意义为函数fx两条渐近线之间的距离为2，n→∞所以lim(xn+1-xn)=2.所以得任意的n∈N，xn+1-xn<2，n→∞已知任意的n∈N，总存在实数M，使得xn+1-xn答案为：2.三、解答题2π17．(1)-1；(2).3【详解】(1)解：a+b⋅a-2b=a2-a⋅b-2b2=-6，又因为a=1，b=2，∴a⋅b=a2-2b2+6=1-8+6=-1；a⋅b-112π(2)解：由题意可得cosθ===-，又因为θ∈[0，π]，所以θ=.|a|⋅|b|223π2π118．(1)kπ+，kπ+，k∈Z；(2),1.6322ππ【详解】(1)由题意可知，函数的周期T==2×，得ω=2，ω2πππππ所以f=cos2×+φ=1，φ<，得φ=-，所以fx=cos2x-，66233ππ2π令2kπ≤2x-≤2kπ+π，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z；363π2π所以函数的单调递减区间是kπ+，kπ+，k∈Z，63ππ(2)方程fx-a=0有两解，即a=fx，x∈-，，63π2ππ12x-∈-，，所以fx∈-，1，又因为有两个不同解，所以由函数图象33321（略）可知，实数a的取值范围是,1.219．(1)m=1;(2)-∞，0∪0，+∞【详解】(1)∵函数fx+1是偶函数，∴fx+1=f-x+1对任意的x恒成立.22∴(x+1)-2mx+1-1=(-x+1)-2m-x+1-1，即4x-4mx=0.∴m=1.(2)∵二次函数fx的图像开口向上且过点0，-1，对称轴为x=m，∴对任意的实数m，函数fx都有两个零点x1和x2，且0∈x1，x2.2∴①当m=0时，函数fx=x-1的两个零点分别为-1，1，在区间-1，1内只有一个整数点，不满足题目要求；②当m>0时，只需f1=-2m<0，即m>0，此时至少有两个整数0和1在区间x1，x2内；③当m<0时，只需f-1=2m<0，即m<0，此时至少有两个整数0和-1在区间x1，x2内.∴m的取值范围是-∞，0∪0，+∞.20．(1)证明见解析；(2)(23,2+3].【详解】(1)向量法：因为BC=AC-AB，第2页共4页22则BC=AC-AB=AC2+AB2-2AC⋅AB=b2+c2-2bccosA，即a2=b2+c2-2bccosA．2π(2)因为A，B，C，D四点共圆，所以D+B=π，D=π-B=.3ADCDAC在△ACD中，由正弦定理得===2，sin∠ACDsin∠CADsin∠ADC即AD=2sin∠ACD,CD=2sin∠CAD,所以周长=AD+CD+AC=2(sin∠ACD+sin∠CAD)+3π=2(sin∠ACD+sin(-∠ACD)+3=sin∠ACD+3cos∠ACD+33ππππ2π=2sin(∠ACD+)+3，又因为∠ACD∈(0,),所以(∠ACD+)∈(,),33333π3所以sin(∠ACD+)∈(,1],所以周长的取值范围为(23,2+3]3221．(1)答案见解析；(2)证明见解析1212【详解】(1)gx=fx+x+ax=lnx+a+x+axx>0，221x2+ax+1gx=+x+a=，xx当a≥0时，在区间0，+∞上，gx>0，gx单调递增，2当a<0时，若Δ=a-4≤0，即-2≤a<0时，在区间0，+∞上，gx>0，2gx单调递增，若Δ=a-4>0，2a即当a<-2时，函数y=x+ax+1的开口向上，对称轴x=->1，2222-a-a-4-a+a-4令gx=0，即x+ax+1=0，解得x=，x=，1222而x1+x2=-a>0，x1x2=1>0，所以x1，x2是两个正根，所以在区间0，x1，x2，+∞上，gx>0，gx单调递增，在区间x1，x2上，gx<0，gx单调递减.综上所述，当a≥-2时，gx在区间0，+∞上单调递增；-a-a2-4-a+a2-4当a<-2时，gx在区间0，，，+∞上单调递增，22-a-a2-4-a+a2-4在区间，上单调递减.221x1x(2)要证明：当a≤时，fx0，a≤，21x1xhx=-e，函数hx=-e在0，+∞上为减函数，xx111x0h1=1-e<0，h=2-e>0，所以存在x0∈，1，使hx=-e=22x0第3页共4页1x00，=e，所以hx在区间0，x0上hx>0，hx单调递增，x0在区间x0，+∞上，hx<0，hx单调递减，x0-x01hx≤hx0=lnx0-e+a+sinθ=lne-+a+sinθx011=-x0++a+sinθ<-2x0⋅+a+sinθ=-2+a+sinθ<0，x0x01x即hx<0，所以当a≤时，lnx+a-e+sinθ<0，21x所以当a≤时，fx