四川省成都市石室阳安中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学（文）试题 （解析版）

成都石室阳安高三数学（文科）入学考试一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】结合题意利用并集定义计算即可.【详解】由题意可得：.故选：B2.已知i为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数计算公式直接化简得到答案.【详解】故选：B3.已知函数,若，则x＝（）A.－3 B.－2 C.3 D.3或－2【答案】C【解析】【分析】分与两种情况，求出答案.【详解】当时，，解得，不满足要求，舍去；当时，，解得，满足要求.故选：C4.已知实数，满足不等式组，则目标函数的最大值为（）A.0 B. C.4 D.8【答案】D【解析】分析】先做可行域，然后平移直线，可得最优解.【详解】不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示：平移直线，可得目标函数在点处取得最大值，由可得，即，故的最大值为.故选：D5.指数函数的图象如图所示，则图象顶点横坐标的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的图象可知，，再结合二次函数的顶点式即可解出．【详解】由图可知，，而，顶点横坐标为，所以．故选：A．6.执行下面的程序框图，输出的（）A.21 B.34 C.55 D.89【答案】B【解析】【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．【详解】当时，判断框条件满足，第一次执行循环体，，，；当时，判断框条件满足，第二次执行循环体，，，；当时，判断框条件满足，第三次执行循环体，，，；当时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出．故选：B.7.若双曲线的渐近线方程为，实轴长为，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（）A.或 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的性质求解.【详解】由题可得，解得，因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为.故选:C.8.设，为不同的平面，，为不同的直线，，，则“”是“”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用线面垂直和面面平行的知识即可判断.【详解】因为，，所以，若，则；若，则.故选：A9.已知，，，则（）A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.b＞c＞a D.c＞b＞a【答案】C【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】因为，，，所以，即.故选：C10.在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知画出图形，连接上下底面中心，则的中点即为外接球球心，连接，求出即可计算得出外接球的面积．【详解】由已知做出正三棱柱，则，设点分别为正，正的中心，连接，则，连接并延长交于于点，则，，设点为中点，连接，则点为正三棱柱外接球的球心，且平面，，因为点为正的中心，所以，所以，则，因为平面，所以，则正三棱柱外接球半径，所以该球的表面积为：，故选：B．11.若函数在上为单调递增函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】转化为，即在上恒成立，再根据右边构造函数，利用导数求出最大值可得结果.【详解】，因为在上为单调递增函数，所以在上恒成立，则，即在上恒成立，设，则，在上为减函数，，所以.故选：D12.已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构函数，由题设条件可得其单调性，从而可求函数不等式的解.【详解】构造函数，则，∴函数在上单调递减，∵，∴，由得，∴，∵函数在上单调递减，∴，故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在区间内随机取一个数，使直线与圆相交的概率为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，由直线与圆相交列出不等式即可得到的范围，再结合几何概型的概率计算公式即可得到结果．【详解】因为圆心，半径，直线与圆相交，所以圆心到直线的距离，解得，所以所求的概率为．故答案为：14.计算______.【答案】5【解析】【分析】运用对数，指数的运算性质求解运算.【详解】故答案为：515.已知，且，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】根据基本不等式，结合“1”的代换，可求得的最小值．【详解】因为，即所以，当且仅当时取得等号所以的最小值为【点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，属于基础题．16.若，使成立是假命题，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】转化为“，使得成立”是真命题，利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.【详解】若，使成立是假命题，则“，使得成立”是真命题，即，恒成立，因为时等号成立，所以，所以，故答案为：.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数．（1）若在点处的切线与直线平行，求实数的值；（2）当时，求函数的单调区间．【答案】（1）（2）单调递增区间为，，单调递减区间为.【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，代入计算可得；（2）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间.【小问1详解】因为，所以，因为在点处的切线与直线平行，所以，即，解得.【小问2详解】当时，则，令，解得或，所以的单调递增区间为，，令，解得，所以的单调递减区间为.18.现在的高一年级学生将会是四川省首届参加新高考的学生，高考招生计划按历史科目组合与物理科目组合分别编制．为了了解某校高一学生的物理学习情况，在一次全年级物理测试后随机抽取了100名学生的物理成绩，将成绩分为，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数低于60分为不及格．（1）求直方图中a的值，并估计本次物理测试的及格率；（2）在样本中，采取分层抽样的方法从成绩不及格的学生中抽取6名作试卷分析，再从这6名学生中随机抽取2名做面对面交流，求2名面对面交流学生的成绩均来自的概率．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可得解；（2）由分层抽样得出成绩在2个区间的人数，列出基本事件，由古典概型求解即可.【小问1详解】因为，所以，由频率分布直方图可知，成绩不少于60分的频率为，即及格率为.【小问2详解】由分层抽样可知，成绩在，分别抽取的人数为，不妨设成绩在的2人为，成绩在的4人为，则任取2人的所有基本事件为,，共15个，其中2人成绩都在的有6个，所以由古典概型知.19.如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，．（1）证明：；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）连接交于点，首先证明平面，再根据正方形的性质得出，由平面得出，即可证明；（2）连接、，证明出平面，得出三棱锥以为底，为高，根据体积公式计算即可．【小问1详解】连接交于点，因为，所以与共面，所以平面，因为四边形为正方形，所以，又因为平面，平面，所以，又因为平面，平面，，所以平面，又平面，所以．【小问2详解】连接、，由（1）得平面，因为平面，平面，所以，，因为平面，，平面，所以，，易得，，在中，，在中，，因为，所以，又因为平面，平面，，所以平面，所以．20.已知椭圆C：的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当直线l的斜率为k时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；（2）根据题意分析可得x轴为直线PA与直线PB的对称轴，根据斜率关系结合韦达定理运算求解.【小问1详解】设椭圆C的半焦距为，由题意可得，解得，所以椭圆C的标准方程为.【小问2详解】由（1）可得：，根据题意可设直线，联立方程，消去y得，则，可得，①由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，则，可得，因为，可得，整理得，②将①代入②得：，解得，所以存在点P，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时.【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．21.函数，．（1）当时，证明：；（2）若是的一个极大值点，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）当时求出函数解析式，即可求出导函数，从而求出函数的单调性，即可得到函数的最小值，即可得证；（2）求出函数的导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点，即可得解.【小问1详解】当时，则，所以当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以在处取得极小值即最小值，即，所以恒成立.【小问2详解】函数定义域为，且，当，即时恒成立，当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以在处取得极小值，即是的一个极小值点，不符合题意；当，即时恒成立，所以在上单调递增，无极值，不符合题意；当，即时，令，解得或，令，解得，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，即是的一个极小值点，不符合题意；当，即时，令，解得或，令，解得，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，即是的一个极大值点，符合题意；综上可得实数的取值范围为.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化参数方程为直角坐标方程，然后将代入整理即可.（2）联立直线和（1）中的极坐标方程，结合韦达定理求解.小问1详解】由可得，将代入可得，，整理可得，即为曲线的极坐标方程.【小问2详解】和联立可得，，设对应得极径分别为，根据韦达定理，，于[不等式选讲]23.已知．（1）若，求的取值范围；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由可得，分类讨论，，三种情况，将原不等式转化为不含绝对值的不等式求解即可；（2）根据题意得到，从而得到关于的二次不等式，再由一元二次不等式解法，即可求出结果.【小问1详解】由可得，当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，显然不成立；当时，原不等式可化为，解得；所以的取值范围为或；【小问2详解】因为，当且仅当时等号成立，所以由不等式的解集为，可得，解得．故实数的取值范围是．