广东省台山市第一中学2024届高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

2023-11-24 · 17页 · 1.2 M

台山一中2024届高三第一次月考数学试题2023-08一、单选题(本大题共8小题,共40分.在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1.设集合,,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合、,利用交集的定义可求得集合.【详解】因为,,所以.故选:B.2.已知i为虚数单位,若复数,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数的运算化简复数,再求共轭复数即可.【详解】因为,所以.故选:B.3.“”是“方程有正实数根”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据零点几何意义,将方程有正根问题等价转化为函数求零点问题,结合二次函数的性质,可得答案.【详解】由方程有正实数根,则等价于函数有正零点,由二次函数的对称轴为,则函数只能存在一正一负的两个零点,则,解得,故选:B.4.已知,则函数的最小值为A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】先分离,再根据基本不等式求最值,即得结果.【详解】,当且仅当,即时,等号成立.选A【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,考查基本分析求解能力,属基础题.5.展开式中含的系数是()A.28 B. C.84 D.【答案】C【解析】【分析】根据展开式的通项,分别求出展开式中含、、的项的系数,即可得出答案.【详解】展开式的通项为,.当选取时,由已知可得,应选取展开式中含的项,由,可得;当选取时,由已知可得,应选取展开式中含的项,由,可得;当选取时,由已知可得,应选取展开式中含的项,由,可得.所以,展开式中含的系数是.故选:C.6.2023年武汉马拉松于4月16日举行,组委会决定派小王、小李等6名志愿者到甲乙两个路口做引导员,每位志愿者去一个路口,每个路口至少有两位引导员,若小王和小李不能去同一路口,则不同的安排方案种数为()A.40 B.28 C.20 D.14【答案】B【解析】【分析】根据题意,先分配特殊的两个人,再将剩余4个人分到两个路口,按照分组分配相关知识进行计算即可.【详解】若小王在1号路口,小李在2号路口,则剩余4个人分到两个路口,两个路口为人分布,共有种方案,两个路口为人分布,共有种方案,此时共有种方案;同理若小王在2号路口,小李在1号路口,也共有种方案.所以一共有28种不同的安排方案种数.故选:B7.设,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数和,利用导数求解单调性,即可判断.【详解】当时,记,则,故在单调递增,故,因此得当时,,故,即;,设,则,因为,当时,.所以在上单调递增,所以,即,所以.故选:A8.设函数的值域为A,若,则的零点个数最多是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】分别求出各段函数的单调性,结合函数图象分类讨论,分别求出函数的零点个数,即可判断;【详解】解:令,则在上单调递减;令,则.由,得或;由,得,所以在和上单调递增,在上单调递减,于是,的极大值为,极小值为.在同一坐标系中作出函数和的图象,如下图:显然;由,得;由的解析式,得.(1)若,当时,,不符合题意;(2)若,当时,,不符合题意;(3)若,①当时,;②当时,,即.由①②,时符合题意.此时,结合图象可知,当时,在上没有零点,在上有2个零点;当时,在上有1个零点,在上有1个或2个零点,综上,最多有3个零点.故选:C.二、多选题(本大题共4小题,共20分.在每小题有多项符合题目要求)9.《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准,它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织名大一新生进行体质健康测试,现抽查200名大一新生的体测成绩,得到如图所示的频率分布直方图,其中分组区间为,,,,,.则下列说法正确的是()A.估计该样本的众数是B.估计该样本的均值是C.估计该样本的中位数是D.若测试成绩达到分方可参加评奖,则有资格参加评奖的大一新生约为人【答案】ACD【解析】【分析】根据频率分布直方图,可判断A项;根据频率分布直方图,估计出平均数,可判断B项;根据频率分布直方图,估计出中位数,可判断C项;根据频率分布直方图,测试成绩达到分的频率为,即可估算有资格参加评奖的人数.【详解】对于A项,由频率分布直方图可得,最高小矩形为,所以可估计该样本的众数是,故A项正确;对于B项,由频率分布直方图,可估计该样本的均值是,故B项错误;对于C项,由频率分布直方图可得,成绩在之间的频率为,在之间的频率为,所以可估计该样本的中位数在内.设中位数为,则由可得,,故C项正确;对于D项,由频率分布直方图可得,测试成绩达到分的频率为,所以可估计有资格参加评奖的大一新生约为人,故D项正确.故选:ACD.10.已知非零实数a,b满足,则下列不等关系一定成立的是()A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可.【详解】解:对于非零实数,满足,则,即,故A一定成立;因为,故B一定成立;又,即,所以,故C一定成立;对于D:令,,满足,此时,故D不一定成立.故选:ABC11.下列关于概率统计说法中正确的是()A.两个变量的相关系数为,则越小,与之间的相关性越弱B.设随机变量服从正态分布,若,则C.在回归分析中,为的模型比为的模型拟合的更好D.某人在次答题中,答对题数为,,则答对题的概率最大【答案】BCD【解析】【分析】由相关系数,正态分布,二项分布的概念判断.【详解】对于A,两个变量的相关系数为,越小,与之间的相关性越弱,故A错误,对于B,随机变量服从正态分布,由正态分布概念知若,则,故B正确,对于C,在回归分析中,越接近于,模型的拟合效果越好,所以为的模型比为的模型拟合的更好,故C正确,对于D,某人在次答题中,答对题数为,,则数学期望,说明答对题的概率最大,故D正确.故选:BCD12.已知函数,若不等式对任意恒成立,则实数的取值可能是()A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】令,得到,推得为偶函数,得到的图象关于对称,再利用导数求得当时,单调递增,当时,单调递减,把不等式转化为恒成立,结合二次函数的性质,即可求解.【详解】由函数,令,则,可得,可得,所以为偶函数,即函数的图象关于对称,又由,令,可得,所以为单调递增函数,且,当时,,单调递增,即时,单调递增;当时,,单调递减,即时,单调递减,由不等式,可得,即所以不等式恒成立,即恒成立,所以的解集为,所以且,解得,结合选项,可得BC适合.故选:BC.【点睛】关键点睛:本题关键是利用换元法设,从而得到,证明其为偶函数,则得到的图象关于对称,再结合其单调性即可得到不等式组,解出即可.三、填空题(本大题共4小题,共20分)13.若命题“”是假命题,则实数的最大值为______.【答案】【解析】【分析】由命题的否定转化为恒成立问题,利用二次函数的性质即可求解.【详解】由题知命题的否定“”是真命题.令,则解得,故实数的最大值为故答案为:14.已知向量满足,则与的夹角为___________.【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算性质,结合平面向量夹角公式进行求解即可.【详解】由,,故答案为:15.已知,为椭圆C的两个焦点,P为C上一点,若,则C的离心率为______.【答案】.【解析】【分析】利用椭圆的定义及,得到,进而得解.【详解】为椭圆上一点,由椭圆的定义知,,因为,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解及椭圆的定义,属于基础题.16.某校决定从高一、高二两个年级分别抽取100人、60人参加演出活动,高一100人中女生占,高二60人中女生占,则从中抽取1人恰好是女生的概率为______.【答案】【解析】【分析】根据条件概率公式即可求解.【详解】用分别表示取的一人是来自高一和高二,表示抽取一个恰好是女生,则由已知可知:,且,所以故答案为:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.在中,=60°,c=a.(1)求sinC的值;(2)若a=7,求的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)直接利用正弦定理求解即可,(2)求出,再利用余弦定理求出,然后利用三角形面积公式可求得答案【小问1详解】在中,因为,,所以由正弦定理得.【小问2详解】因为,所以.由余弦定理得,解得或(舍).所以的面积.18.设为函数的导函数,已知,且的图像经过点.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求函数在上的单调区间.【答案】(1)(2)单调递增区间为和;单调递减区间为【解析】分析】(1)求导,计算得到切线斜率,点斜式求切线方程.(2)求出函数解析式,求导函数,由导函数的正负解得原函数的单调区间.【小问1详解】,则,得.由题意,可得曲线在点处的切线方程为,即.【小问2详解】由已知得.又由(1)知,所以.故.,由,得,或;由,得.故在上的单调递增区间为和;单调递减区间为.19.已知图1是由等腰直角三角形和菱形组成的一个平面图形,其中菱形边长为4,,.将三角形沿折起,使得平面平面(如图2).(1)求证:;(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)取的中点,连接,,则,再结合已知面面垂直可得平面,则,而,再由线面垂直的判定可得面,从而可证得,(2)以,,所在的直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.【小问1详解】证明:取的中点,连接,.∵,∴.又∵平面平面,且平面平面,平面,∴平面.∵平面,∴.∵在菱形中,,∴为等边三角形,∵的中点为,∴,∵∥,∴∵,平面,∴平面,∵平面,∴.【小问2详解】由(1)平面,∵平面,∴,∵,∴如图,以,,所在的直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则,∴,,.设平面的法向量为,则,不妨设,则.设平面的法向量为,则,令,则,设二面角的大小为,由图可知为钝角,∴,∴.∴二面角的正弦值为.20.已知数列的首项,且满足,设.(1)求证:数列为等比数列;(2)若,求满足条件的最小正整数.【答案】(1)证明见解析(2)140【解析】【分析】(1)利用等比数列的定义证明即可;(2)利用分组求和的方法得到,然后利用的增减性解不等式即可.【小问1详解】,,所以数列为首项为,公比为等比数列.【小问2详解】由(1)可得,即∴而随着的增大而增大要使,即,则,∴的最小值为140.21.已知椭圆E:与y轴的正半轴相交于点M,点F1,F2为椭圆的焦点,且是边长为2的等边三角形,若直线l:y=kx+2与椭圆E交于不同的两点A,B.(1)直线MA,MB的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由;(2)求的面积的最大值.【答案】(1);(2).【解析】【详解】(1)因为是边长为2的等边三角形,所以,,,所以,所以椭圆:,点.将直线代入椭圆的方程,整理得:,(*)设,则由(*)式可得,所以,,,所以直线的斜率之积所以直线斜率之积是定值.(2)记直线与轴的交点为,则当且仅当,即时等号成立.所以的面积的最大值为.22.“英才计划”最早开始于2013年,由中国科协、教育部共同组织实施,到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生,为选拔培养对象,某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动.(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学,从这12名学员中选取3人,表示选取的人中来自该中学的人数,求的分布列和数学期望;(2)在夏令营开幕式的晚会上,物理组举行了一次学科知识竞答活动.规则如下:两人一组,每一轮竞答中,每人分别答两题,若小组答对题数不小于3,则取得本轮胜利,假设每轮答题结果互不影响.已知甲、乙两位同学组成一组,甲、乙答对每道题的概率分别为,,且,如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利,那么理论上至少要参加多少轮竞赛?【答案】(1)分布列见解析,(2)11轮【解析】【分析】(1)根据超几何分布列分布列计算数学期望即可;(2)先求每轮答题中取得胜利的概率的

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