精品解析：广东省东莞市第四高级中学2024届高三上学期10月月考数学试题（原卷版）

东莞四中2023-2024高三第一学期数学月考试题与答案一、单项选择题：1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B.C D.4.在的展开式中，的系数是（）A. B.8 C. D.45.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）A.升 B.升 C.升 D.升6.函数的大致图象为（）A. B.C. D.7.已知,，则（）A. B. C. D.8.已知函数图像关于原点对称，其中，，而且在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.点是图象的一个对称中心C.在上单调递增D.将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象10.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（）A.从中任取3球，恰有2个白球的概率是；B.从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X，则；C.现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；D.从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为.11.已知函数存在极值点，则实数a的值可以是（）A.0 B. C. D.12.生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：，其中，，是正数，表示初始时刻种群数量，叫做种群的内秉增长率，是环境容纳量.可以近似刻画时刻的种群数量.下面给出四条关于函数的判断正确的有（）A.如果，那么存在，；B.如果，那么对任意，；C.如果，那么存在，在点处的导数；D.如果，那么的导函数在上存在最大值.三、填空题：13.在中，，，，则______．14.某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有__________种(用数字作答)．15.已知角的大小如图所示，则的值为________16.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则______；______.四、解答题：17.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．18.已知等差数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）证明：.19.小家电指除大功率，大体积家用电器（如冰箱、洗衣机、空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为1~5.年份代码12345市场规模（单位：千亿元）1.301.401.621.68180（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用样本相关系数加以说明（若，则线性相关程度较高，精确到0.01）；（2）建立关于的经验回归方程.参考公式和数据：样本相关系数，，，，，.20.设正项数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）记的前项和为，求证：.21.哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.（1）若高三学年获得决赛资格的同学个数为，求的分布列和数学期望.（2）已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛规则如下：将问题放入两个纸箱中，箱中有3道选择题和2道填空题，箱中有3道选择题和3道填空题.决赛中要求每位参赛同学在两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入箱中，然后乙再抽取题目.已知乙从箱中抽取的第一题是选择题，求甲从箱中抽出的是2道选择题的概率.22.已知函数，其中为常数．（1）当时，判断在区间内的单调性；（2）若对任意，都有，求取值范围．公众号：高中试卷君