厦门市2023届高三第四次质量检测数学参考答案

厦门市2023届高三毕业班第四次质量检测数学参考答案一、选择题：1~4：DACB5~8：ABCA二、多选题：9．AD10．ABD11．ACD12．ACD8．提示：圆台得高h=62−(4−1)2=33，将圆台补成圆锥，由相似比1:4知轴截面14是边长为8的等边三角形，此时该圆锥内切球半径r=822−4=3，此时2rh，334所以该球半径最大时r=3，对应情形为：与下底面和侧面相切，不与上底面相切，364其表面积为π.3PF=+y1PF=112．提示：A．设P(,)x00y所以0，因为y00，所以min.A正确595B．设E(0,1),QF=QE0，所以Q点轨迹为x22+(y−)=(x0)，设R(0,)，242x23设Px(,)0，PQ=−PR，又因为04minmin2x2513PR=x2+(0−)2=(x−2)2+66，所以PQ=−6，B错误004216min2y=+kx42C．设A(x1,y1),B(x2,y2)，又因为2，所以x−4kx−16=0，xy=4()xx20,x+x=4k,xx=−16，所以yy==121，又因为121212162FAFBxx=12+−(1)(1)y1y2−=xxyy12+12−++=−−(yy12)1470k，所以AFB为钝角，C正确（或者由OA⊥OB,AFBAOB）FAFPFBFPD．设P(,)xy，因为PFA=PFB，所以=，00FAFBxx+(y−1)(y−1)xx+(y−1)(y−1)所以0110=0220，yy12++11所以xxy012(++−1)(yy11)(2+1)(y0−=1)xxy021(++−+1)(y21)(yy11)(0−1)所以xxyxx01201++−(y01)(yyyy1221−++=1)xxyxx02102++−(y01)(yyyy1221+−+1)x1所以0xx(x−x)+x(x−x)+(y−1)(x22−x)=0，又因为xx，42122101201212()xx+5所以5xy+12(−1)=0，即5x+2k(y−1)=0，即kk=−，D正确0020012三、填空题：11213．014．yx=+1，yx=+1（写出其中一条直线方程）22π3265715．16．1；,,32322116．提示：第一空：当a=1时，当01x时，f(x)==cosx0，解得x=；2当x1时，f(x)=x2−4x+8=(x−2)2+40，无零点.故此时fx()的零点个数是1；第二空：显然，y=x2−48ax+(xa)至多有2个零点，3故yx=cosπ在(0,a)上至少有2个零点，所以a，235①若y=cosπx(0xa)恰有2个零点，则a，22此时y=x2−48ax+(xa)恰有两个零点，2,aa226所以=16a−320,解得2a，23f(a)=−3a+80326此时a；2357②若y=cosπx(0xa)恰有3个零点，则a，22此时f(a)=8−3a20，所以y=x2−48ax+(xa)恰有1个零点，符合要求.7③当a时，f(a)=8−3a20，所以y=x2−48ax+(xa)恰有1个零点，2而y=cosπx(xa)至少有4个零点，此时fx()至少有5个零点，不符合要求，舍去.32657综上，a或a.2322四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换等基础知识；考查运算求解、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化思想等．本题满分10分．解：（1）由题意得2sinBCACcos=+2sinsin-----------------------------------------------1分所以2sinBCBCCcos=2sin(+)+sin----------------------------------------------------------2分即2sinBCBCBCCcos=2sincos+2cossin+sin--------------------------------------------3分2所以2cosBCCsin+=sin0-----------------------------------------------------------------------4分12π因为BC,(0,π)，所以sinC0，所以cosB=−，所以B=----------------------5分232π（2）△ABC中，b2=a2+c2−2accosB，ca=2，B=，---------------------------6分3所以7=aaa222+4+2，所以ac==1,2，----------------------------------------------------7分又因为BD为角B的平分线，SSS△ABD+=△CBD△ABC-----------------------------------------8分1π1π12π所以BDcsin+BDasin=acsin-------------------------------------------9分2323232所以BD=-----------------------------------------------------------------------------------------10分318．本题考查数列递推关系、数列通项、数列求和等基础知识；考查运算求解、推理论证能力；考查函数与方程思想、化归与转化思想等．本题满分12分．解：（1）当n=1时，T11=a=2所以Tn=T1+(n−1)1=n+1------------------------------------------------------------------------1分所以a1a2a3an=n+1当n2时，a1a2a3an−1=n---------------------------------------------------------------------2分n+1所以an=(2)-------------------------------------------------------------------------------3分nnn+1又a=2符合a=-----------------------------------------------------------------------------4分1nnn+1所以a=----------------------------------------------------------------------------------------5分nnn+1（2）由（1）得b=-------------------------------------------------------------------------6分n2n234nn+1所以S=+++++……①n222232nn−121234nn+1所以S=+++++……②------------------------------------------------7分2n2223242nn2+1121111n+1①-②得S=++(+++)−---------------------------------------------8分2n22223242nn2+111n−11−()42n+1=1+−-------------------------------------------------------10分1n+11−2231n+1=−()n−222n+1n+3所以S=3−----------------------------------------------------------------------------------12分n2n19．本题考查直线与平面的位置关系、空间角、空间向量等基础知识；考查空间想象、运算求解、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等．本题满分12分．解：（1）依题DE⊥BE,,DE⊥A11EBEAE=E，所以DE⊥平面A1EB，-----------1分3则A1EB为二面角A1−−DEB的平面角，即=A1EB60，-----------------------------2分因为EA1=EB，所以△BEA1为等边三角形，取BE中点O，连接OA1，OC，CE，则BE⊥AO1，------------------------------------3分因为BC==BECE，所以BE⊥OC，又OCOA1=O，所以BE⊥平面OCA1，----------------------------------------------------4分又AC1平面OCA1，所以BE⊥AC1---------------------------------------------------------------------------------------5分（2）因为DE⊥EB,,DE⊥A11EEBAE=E，所以DE⊥面A1EB，从而DE⊥AO1-----------------------------------------------------------6分因为DE⊥BE，BE⊥OC，所以DE∥CO，所以CO⊥AO1，所以OC,,OBOA1两两垂直x,,yz以为原点，以OC,,OBOA1的方向分别为轴的正方向，建立空间坐标系O−xyz，如图所示------------------------------------------------------------7分z则ACDE0,0,33,33,0,0,23,−−3,0,0,3,0，1()()()()A1所以，-----------------------------------------------------------------------------8分EA1=(0,3,33)AC1=(33,0,33,−)CD=(−3,3,0−)AEOBy设平面ACD1的法向量n=(x,,yz)，则DCxn=AC10,xz−=0,所以，n=CD0,−3xy−3=0令y=1，则平面的一个法向量n=(−3,1,−3)，---------------------------------10分设直线AE1与平面ACD1所成角为，0+−397则sin=cosEA,n==，16774则直线与平面所成角的正弦值为7.--------------------------------------------12分AE1ACD1720．本题考查椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解、逻辑思维能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等．本题满分12分．b3222222解：（1）依题tanAFB==，AB=a+b=5，结合a=+bc-------------2分c3a2=4x2得b2=1，所以:1+=y2.-----------------------------------------------------------------4分42c=3（2）△OCD的面积不可能大于1.理由如下：-----------------------------------------------5分依题设直线AC:y=+kx1,BD:y=−k(x2),(k0).设C(,)xyD(,)xyCC，DDy=+kx1−8k由得22，所以x=，22,(1+4k)x+8kx=0C2xy+=4414+k−−8kk142从而分C22,.---