精品解析：广东省汕头市2023届高三二模数学试题（解析版）

2023年汕头市普通高考第二次模拟考试试题数学第Ⅰ卷选择题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，且，则的取值集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合和元素的关系及并集的定义讨论即可.【详解】由题意可得：或若，此时，集合的元素有重复，不符合题意；若，解得或，显然时符合题意，而同上，集合的元素有重复，不符合题意；故.故选：B2.电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（）A. B.27 C. D.6【答案】A【解析】【分析】根据分步乘法计数原理易得答案.【详解】分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成种颜色.故选：A.3.已知复数z满足，则z等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用复数运算求得复数z进而求得z的三角形式.【详解】由，可得则，则故选：C4.在中，已知C=45°，，，则角B为（）A.30 B.60 C.30或150 D.60或120【答案】A【解析】【分析】由正弦定理，求得，结合，即可求解.【详解】在中，由正弦定理可得，又因为，可得，即，所以.故选：A.5.已知函数，则的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数判定单调性即可得出选项.【详解】，令，所以在和上单调递增，故选：C6.已知，，，则有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对数的运算化简，可比较与的大小；分别计算与的大小关系，可比较，利用选项排除可得答案．【详解】，，排除B，C选项，排除D故选：A【点睛】本题考查比较对数大小，考查对数的运算性质，属于中档题．7.已知，，是三个平面，，，，且，则下列结论正确是（）A.直线b与直线c可能是异面直线 B.直线a与直线c可能平行C.直线a，b，c必然交于一点（即三线共点） D.直线c与平面可能平行【答案】C【解析】【分析】先由点，线，面的位置关系得到直线a，b，c必然交于一点，AB错误，C正确；再利用假设法推出D错误.【详解】ABC选项，因为，，，所以，因为，所以，所以直线a，b，c必然交于一点（即三线共点），AB错误，C正确；D选项，假设直线c与平面平行，假设直线c与平面α平行，由，可知，这与矛盾，故假设不成立，D错误.故选：C8.给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.若函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过二次求导可得，求出的图像的对称中心为，得到，据此规律求和即可.【详解】由，可得，令，可得，又，所以的图像的对称中心为，即，所以，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线，，则下列结论正确的是（）A.曲线C可能是圆，也可能是直线B.曲线C可能是焦点在轴上的椭圆C.当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆D.当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为【答案】ABD【解析】【分析】设，由的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案.【详解】设，故曲线C的方程可表示为，对A，当时，曲线C的方程为，可得，此时曲线C为两条直线；当时，曲线C的方程为，此时曲线C是一个圆；故A正确；对B，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B正确；对C，当曲线C表示椭圆时，离心率为，则越大，椭圆越扁，故C错误；对D，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，此时离心率为，由，可得，即它的离心率有最小值，且最小值为，故D正确.故选：ABD.10.在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（）A. B.C.的余弦值为 D.【答案】ABD【解析】【分析】求得的长度判断选项A；求得的长度判断选项B；求得的余弦值判断选项C；求得的化简结果判断选项D.【详解】连接PC，并延长交AB于Q，中，，，，则，,，，，选项A:.判断正确；选项B:.判断正确；选项C:.判断错误；选项D:.判断正确.故选：ABD11.已知数列为为等差数列，，，前项和为.数列满足，则下列结论正确的是（）A.数列的通项公式为B.数列是递减数列C.数列是等差数列D.数列中任意三项不能构成等比数列【答案】ACD【解析】【分析】求得数列的通项公式判断选项A；求得数列单调性判断选项B；利用等差数列定义判断选项C；利用反证法证明选项D正确.【详解】数列为为等差数列，，，则其公差，则，则选项A判断正确；则数列前项和，则，由，可得数列是等差数列且是递增数列.则选项B判断错误；选项C判断正确；假设为等差数列中三项，且构成等比数列，则，即，整理得，由，可得，这与矛盾.则不成立；又由为整数，为无理数，可得不成立.则假设不成立.即数列中任意三项不能构成等比数列.判断正确.故选：ACD12.已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为，设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（）A.当时，B.V存在最大值C.当r在区间内变化时，V逐渐减小D.当r在区间内变化时，V先增大后减小【答案】BD【解析】【分析】通过题意得到圆台体积V关于外接球半径r的函数，容易判断A；利用导数探讨该函数的单调性和最值，可以判断B,C,D.【详解】设圆台的上底面的圆心为，下底面的圆心为，点为上底面圆周上任意一点，圆台的高为，球的半径为，如图所示，则，对选项不正确；，设，则，令可得，解得，知，且当；2)，在单调递增，在单调递减，由，，使得，当，即当，即，所以在单调递增，在单调递减，则B，D正确，C错误，故选：BD.【点睛】本题考察圆台的体积与外接球半径的函数关系.关键在于建立函数模型，然后利用导数研究其单调性与及最值，用到了隐零点及二次求导，属于较难题.第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.与圆关于直线对称的圆的标准方程是______.【答案】【解析】【分析】先求得所求圆的圆心坐标，进而得到该圆的标准方程.【详解】圆的圆心，半径，点关于直线对称的点坐标为则所求圆的标准方程为故答案为：14.已知，则______.【答案】2【解析】【分析】利用赋值法计算即可.【详解】由，令，则，令，则，∴.故答案为：2.15.某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.按照这种化验方法，平均每个人需要化验______次.（结果保留四位有效数字）（，，）.【答案】0.4262【解析】【分析】设每个人需要的化验次数为X，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得，从而确定正确答案.【详解】设每个人需要的化验次数为X，若混合血样呈阴性，则；若混合血样呈阳性，则；因此，X的分布列为，，，说明每5个人一组，平均每个人需要化验0.4262次.故答案为：0.4262.16.阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆上任意一点的切线方程为．若已知△ABC内接于椭圆E：，且坐标原点O为△ABC的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则______．【答案】4【解析】【分析】设、、，由重心的性质有、、，写出过切线方程并求交点坐标，进而判断△重心也为O，再由在椭圆上可得、、共线，即分别是的中点，即可确定面积比.【详解】若、、，则的中点、、，由O为△ABC的重心，则、、，所以、、，可得，由题设，过切线分别为、、，所以，，，所以，同理，即△重心也为O，又、、，可得、、，所以，同理可得、，所以、、共线，综上，分别是的中点，则【点睛】关键点点睛：设点坐标及过切线方程，并求出坐标，利用重心的性质确定△重心为O，并求证分别是的中点即可.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据如下：行驶里程/万km0.000.641.291.932.573.223864.515.15轮胎凹槽深度/mm10.028.377.396.485.825.204.554.163.82以行驶里程为横坐标、轮胎凹槽深度为纵坐标作散点图，如图所示.（1）根据散点图，可认为散点集中在直线附近，由此判断行驶里程与轮胎凹槽深度线性相关，并计算得如下数据，请求出行驶里程与轮胎凹槽深度的相关系数（保留两位有效数字），并推断它们线性相关程度的强弱；2.576.20115.1029.46附：相关系数（2）通过散点图，也可认为散点集中在曲线附近，考虑使用对数回归模型，并求得经验回归方程及该模型的决定系数.已知（1）中的线性回归模型为，在同一坐标系作出这两个模型，据图直观回答：哪个模型的拟合效果更好？并用决定系数验证你的观察所得.附：线性回归模型中，决定系数等于相关系数的平方，即.【答案】（1），相关性较强（2）答案见解析【解析】【分析】（1）直接根据相关系数的计算公式求得，从而可判断相关性较强；（2）由图像可直观判断，再求出线性回归模型的决定系数，从而可判断对数回归模型的拟合度更高.【小问1详解】由题意，，∵，∴，∴行驶里程与轮胎凹楳深度成负相关，且相关性较强.【小问2详解】由图像可知，车胎凹槽深度与对数回归预报值残差、偏离更小，拟合度更高，线性回归预报值偏美较大.由题（1）得线性回归模型的相关系数，决定系数，由题意，对数回归模型的决定系数，∵，∴对数回归模型的拟合度更高.18.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若，求函数的单调区间.【答案】（1）（2）的单调递增区间为，单调递减区间为【解析】【分析】（1）先列出关于x不等式组，解之即可求得函数的定义域；（2）先化简解析式，再利用正弦函数的单调性即可求得函数的单调区间.【小问1详解】，即，则，即，又有意义，则，，综上可得，，，则函数的定义域为【小问2详解】∵，则，由，解得，由，解得，即的单调递增区间为，单调递减区间为19.如图，正方体中，直线平面，，.（1）设，，试在所给图中作出直线，使得，并说明理由；（2）设点A与（1）中所作直线确定平面.①求平面与平面ABCD的夹角的余弦值；②请在备用图中作出平面截正方体所得的截面，并写出作法.【答案】（1）答案见解析；（2）①；②答案见解析.【解析】【分析】（1）取和中点分别为P、Q，利用正方体的性质结合线面垂直的判定定理可得平面，进而即得；（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得；设直线交于，连接分别交于，进而可得截面.【小问1详解】由题意，P、Q分别为和的中点吋，有，证明过程如下：连接，取和中点分别为P、Q，连接，∵，∴一定过经过点E,∴PQ即为所求作的l.∵P、Q分别为和的中点，∴P、Q为的中位线，∴，且PQ过经过点E，∵正方体的的上底面为正方形.∴，∵，∴，又∵正方体的侧棱垂直底面，，∴，又∵，平面，.∴平面，∵平面，∴，即；【小问2详解】①连接AP，AQ，∵正方体中，有AD，DC，DD两两垂直，以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体边长为2，则有，，，，，所以，，∵正方体的侧棱垂直底面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.设平面，即平面APQ的法向量，则，.∴，，即令，则，.∴平面APQ的一个法向量.，，，设平面与平面ABCD