2023中欧数学奥林匹克 中文翻译

2023中欧数学奥林匹克文渊中学龙崎钢译个人赛题1.设R表示所有实数的集合.对于每对满足α+β≥2的非负实数对(α,β),求所有函数f:R→R,使得对任意实数x,y,均有：f(x)f(y)≤f(xy)+αx+βy题2.求所有满足n≥3的整数n,使得可以在一个圆上画出n条弦,使得它们的2n个端点两两不同,并且每条弦恰好与k条其他弦相交,其中：(1)k=n−2,(2)k=n−3.题3.设△ABC内心为I.其内切圆ω在线段BC上的切点为D.记E和F为满足AI∥BE∥CF且◦′′′′∠BEI=∠CFI=90的点.线段DE和DF分别再次与ω交于点E和F.证明EF⊥AI.题4.设n和m为正整数.我们称一个正整数集合S为(n,m)-好集合,如果它满足以下三个条件：(i)m∈S.(ii)对于S中的任意a,a的所有正因子也都是S中的元素.(iii)对于S中互不相同的数a和b,有an+bn∈S.求所有数对(n,m),使得唯一的(n,m)-好集合就是全体正整数组成的集合.第1页共3页团体赛第一天题1.设Z表示所有整数的集合,Z∗表示所有正整数的集合.(1)如果一个函数f:Z→Z满足对于所有a,b∈Z都有f(a2+b)=f(b2+a),则称其为Z-好函数.确定在f是Z-好函数的条件下,在f(1),f(2),...,f(2023)中可以出现的最大不同值的数量.(2)如果一个函数f:Z∗→Z∗满足对于所有a,b∈Z∗都有f(a2+b)=f(b2+a),则称其为Z∗-好函数.确定在f是Z∗-好函数的条件下,可以在f(1),f(2),...,f(2023)中出现的最大不同值的数量.题2.设a,b,c,d是正实数,满足abcd=1.证明：ab+1bc+1cd+1da+1+++≥4,a+1b+1c+1d+1并确定所有满足等号成立的四元组(a,b,c,d).题3.求最小的满足以下条件整数b：对于任意一种将8×8棋盘上恰好b个方格涂成绿色的涂色方式,可以将7个象放置在7个绿色方格上,使得任意两个象都不互相攻击.备注:国际象棋中,如果两个象位于同一对角线上,则它们互相攻击.题4.设c≥4为一个偶数.在某个足球联赛中,每支队伍有一套主场球服和一套客场球服.每套主场球服由两种不同颜色组成,每套客场球服由一种颜色组成.一支队伍的客场球服的颜色不能与主场球服的颜色之一相同.所有球服上的颜色总共最多有c种不同颜色.如果两支球队的主场球服有相同的两种颜色,则它们的客场球服颜色不同.我们称一对球服如果有某种颜色同时出现在两套球服上则为冲突的.假设对于联赛中的每支队伍X,都不存在一支队伍Y,使得X的主场球服与Y的两套球服都存在冲突颜色.确定联赛中可能的最大队伍数量.第2页共3页团体赛第二天题5.如下左图所示,我们有一个不含有直角的凸四边形ABCD.假设其边AB,BC,CD,DA上分别有点P,Q,R,S,满足PS∥BD,SQ⊥BC,PR⊥CD.若直线PR,SQ和AC交于一点,证明点P,Q,R,S共圆.题6.如上右图所示,ABC是一个锐角三角形,且ABb,满足n=.a−b题8.设A和B是正整数.正整数列(xn)n≥1满足,对于任意n≥2,有xn+1=A·gcd(xn,xn−1)+B.证明该数列只能取有限多个不同的值.备注：我们用gcd(a,b)表示正整数a和b的最大公约数.第3页共3页