陕西省汉中市2023-2024学年高三上学期第三次校际联考文科数学试题

2024届高三第三次校际联考数学（文科）试题注意事项：1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足iz1i，则z的虚部为1A．iB．1C．iD．22.命题“x≤2，x22x80”的否定是A．x≤2，x22x8≤0B．x2，x22x80C．x≤2，x22x80D．x2，x22x803.已知全集UR，集合Mx2x13，Nx1x310，则xx≤2A．B．C．D．MNMNðUMNðUMNx24.双曲线C：y21的焦点坐标为3A．2,0B．2,0C．0,2D．0,25.若0a1，则函数ylogax1的图象可以是A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司6.已知等差数列an，其前n项和Sn满足S7a412，则a2a675A．4B．C．D．322a57.已知等比数列an为递减数列，若a2a66，a3a55，则a7321A．B．C．D．62368.设m，n是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是A．若mn，n∥，则mB．若m∥，，则mC．若m，，则m∥D．若m，m，则∥9.在某校高中篮球联赛中，某班甲，乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是图一图二（第9题图）A．甲得分的极差是18B．乙得分的中位数是16.5C．甲得分更稳定D．甲的单场平均得分比乙低10.如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为63，49，则输出的a（第10题图）A．9B．7C．5D．311.在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，E为棱AC的中点，则异面直线A1E与BC所成角的余弦学科网（北京）股份有限公司值为5555A．B．C．D．10105512.已知实数x，y满足x2y24x6y120，则2xy2的最小值是A．15B．45C．55D．55第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数fxlnxf'1x23，则f'1.14.在△ABC中，ABAC1，A90，则ABBC.x2y215.已知椭圆C：1ab0的一个焦点为F，若C上存在点P，使△POF（O为原点）是等边a2b2三角形，则椭圆C的离心率为.16.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数yfx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，那么在区间a,b内至少存在一点c，使得fbfaf'cba成立，其中c叫做fx在a,b上“拉格朗日中值点”，根据这个定理，判断函数fx5x33x在区间1,1上的“拉格朗日中值点”的个数为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinC3ccosB.（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b13，c3a，求△ABC的面积.18.（本小题满分12分）某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如表：一等品二等品合计设备改造前12080200学科网（北京）股份有限公司设备改造后15050200合计270130400（Ⅰ）判断是否有99%的把握，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；（Ⅱ）按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品.现从这5件产品中任选2件，求选出的这2件全是一等品的概率.nadbc2附：K2，其中nabcd.abcdacbd2PK≥k00.0500.0100.001k03.8416.63510.82819.（本小题满分12分）如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD是等边三角形，ABCD是等腰直角三角形，BC⊥CD，AB4，点O，E分别为BD，AD的中点.（第19题图）（Ⅰ）证明：AC⊥BD；（Ⅱ）求三棱锥A-EOC的体积.20.（本小题满分12分）a已知函数fx2lnx.x2（Ⅰ）若fx在1,f1处的切线与x轴平行，求实数a的值；（Ⅱ）fx是否存在极值点，若存在，求出极值点；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的方程为x22pyp0，其顶点到焦点的距离为2.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若点P0,4，设直线l：ykxtt0与抛物线交于A、B两点，且直线PA、PB的斜率之和为0，证明：直线l必过定点，并求出该定点的坐标.（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.学科网（北京）股份有限公司22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】2x3t2在平面直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为（t为参数）.在以原点O为极点，x轴正半2y5t2轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为25sin.（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为3,5，圆C与直线l交于A，B两点，求PAPB的值.23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】1已知函数fxxax2，a≥.2（Ⅰ）若a1，求不等式fx≤7的解集；（Ⅱ）若fx≥2a1，求a的取值范围.2024届高三第三次校际联考数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.A12.C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.114.115.3116.2三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.解：（Ⅰ）∵bsinC3ccosB，∴由正弦定理可得sinBsinC3sinCcosB，又sinC0，∴sinB3cosB，即tanB3，∵B0,，2∴B.3学科网（北京）股份有限公司2（Ⅱ）∵b13，c3a，B，32222221∴由余弦定理可得bac2accosB，即13a9a6a，2解得a21，即a1，c3，11333∴SarsinB13.ABC222418.解：24001205015080400（Ⅰ）∵K210.2566.635，20020027013039∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关.（Ⅱ）在取出的5件产品中，3件一等品记为a，b，c，2件二等品记为D，E，从这5件产品中任选2件的所有情况为ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE，共10种，其中2件全是一等品的情况为ab，ac，bc，共3种，3∴选出的2件全是一等品的概率为.1019.解：（Ⅰ）证明：∵△ABD是等边三角形，点O为BD中点，∴AOBD.又∵BCCD，∴COBD.又∵AOCOO，∴BD平面AOC.又∵AC平面AOC，∴ACBD.BD（Ⅱ）由题意知COOD2，AOAD2OD223，21∴S22323.AOC2由（Ⅰ）知BD平面AOC，又点E为AD中点，OD∴点E到平面AOC的距离为1.2123∴VV231.AEOCEAOC33学科网（北京）股份有限公司20.解：a22a（Ⅰ）由fx2lnx，得f'x，x2xx3∵fx在1,f1处的切线与x轴平行，∴f'122a0，解得a1.222a2xa（Ⅱ）函数fx的定义域为0,，f'x.xx3x3当a≤0时，对任意的x0，f'x0，此时函数fx无极值点；当a0时，令f'x0，可得xa，由f'x0，可得0xa；由f'x0，可得xa.此时，函数fx的减区间为0,a，增区间为a,.∴函数fx在xa处取得极小值.综上，当a≤0时，函数fx无极值点；当a0时，函数fx的极小值点为xa，无极大值点.21.解：（Ⅰ）∵抛物线x22pyp0的顶点到焦点的距离为2，p∴2，解得p4.2∴该抛物线的方程为x28y.（Ⅱ）证明：设点Ax1,y1、Bx2,y2，把直线ykxt代入x28y，消去y，整理得x28kx8t0，则0且x1x28k，x1x28t，x214y148x14直线PA的斜率为k1，x1x18x1x24同理得直线PB的斜率k2，8x2学科网（北京）股份有限公司x4x4xx4xx8k32k则121212，k1k208x18x28x1x288t4即k10，显然k0，故t4，t∴直线l的方程为ykx4，故直线l必过定点0,4.（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.解：2x3t2（Ⅰ）由直线l的参数为（t为参数），2y5t2得直线l的普通方程为xy350.将圆C的极坐标方程：25sin两边同乘得225sin，2化为直角坐标方程为x2y55.（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，2222得，即2，3tt5t32t4022设t1，t2是A和B对应的参数，则t1t232，t1t24，又直线l过点P3,5，∴PAPBt1t2t1t232.23.解：（Ⅰ）当a1时，fxx1x2，当x≤2时，不等式fx≤7化为x1x2≤7，∴x≥4，此时4≤x≤2；当2x≤1时，不等式fx≤7化为x1x23≤7，恒成立，此时2x≤1；当x1时，不等式fx≤7化为x1x22x1≤7，学科网（北京）股份有限公司∴x≤3，此时1x≤3.综上所述，不等式fx≤7的解集为4,3.（Ⅱ）fxx1x2≥xax2a2，若fx≥2a1，则a2≥2a1，不等式两边平方可得a24a4≥4a24a1，解得1≤a≤1，1又a≥，21∴≤a≤1，21即a的取值范围是,1.2学科网（北京）股份有限公司