辽宁省抚顺市六校2023-2024学年高二上学期期中考试 数学答案

高二数学试卷参考答案!!#!设直线槡!$槡#%&'(的倾斜角为!!!(!!#!则)*+!'%槡&!故!'!,(-!,!.!,$#,$/$0#'(可化为$$&#,$$#$1#,',!即圆心为$%&!%1#!半径为!故选.!''&!2!设焦点为$!则#%$#'&$',&!即&'!又,'&'!!所以''!!,,%$%$%$%$1!2!因为()'&(*$+(,$,(-!且*!,!-!)四点共面!所以&$+$,'!!所以&$+'%!!#,,!#!由题可知双曲线的焦点在#轴上!所以&&(!则双曲线的标准方程为%'!!%&%&所以%&%&'.,'1!解得&'%,!%$%$%$%$%$%$%$%$*,'*-/!3!*,'$%,!(!%!#!*-'$!!!!(#!则#*,#'槡!#*-#'槡,!456%*,!*-&'%$%$#*,##*-#%,,%$%$/''%!即68+%*,!*-&'!所以以*,!*-为邻边的平行四边形的面积为槡7槡,槡!(槡!(槡/槡7槡,7'槡/!槡!(9!.!如图!连接,/!设*-与,/相交于点(!连接)(!以点(为坐标原点!(*!(,!()所在直线分别为!#!0轴!建立空间直角坐标系!则($(!(!(#!*$&!(!(#!)$(!(!&#!,$(!&!%$%$(#!-$%&!(!(#!/$(!%&!(#!1$(!,!!#!*/'$%&!%&!(#!-*'$/!%$(!(#!*1'$%&!,!!#!设平面*1-的法向量为!'$!#!0#!则!'%$%$(/'(!-*'(!!'*1'(!即'取#'!!得!'$(!!!%,#!)%&$,#$0'(!%$#*/'!#&&槡点/到平面*1-的距离2'''!#!#槡,(,,,,,0!.!设点)$(!#(#!因为,$(!!#!$#('!!所以#),#'($$#(%!#'&$!%#(#$$#(&,,!,:%!#'%,#(%,#($1'%,$#($#$!,,!&槡,而%!*#(*!!所以当#('%时!#),#取得最大值!,,:!2#!选项.!,$#'$,%##$,#!所以,$#!,%#!#共面(选项3!,$%/!&%$共线!则%,#!,$%/!&%$共面!!(!23!由题意可知#$!$,#',槡&!#%$!#$#%$,#'1!所以椭圆-的焦距为,槡&!故.错误!因为,%槡&*#3$!#*,$槡&!所以2正确!+%$!$,的周长为1$,槡&!故#错误!!高二数学参考答案!第!!页#共页$%!#$%!&{#{QQABaYYUggiAQBJAAQhCUwHACgOQkBECCCoOABAMsAABQBFABAA=}#}书,,,!又#$!$,#'#%$!#$#%$,#'!,!所以#%$!#'#%$,#',!则4+$%$'#%$!#'!,,#%$,#'!!故3正确!',!!!2#3!由题可知'!!则'',!故.错误(设*$!!#!#!,$,!#,#!拋物线-)#'1的准,!$,线5)'%!!#*,#'!$,$,!则以*,为直径的圆的半径6'$!!线段*,的中,!$,#!$#,!$,点坐标为$!#!则线段*,的中点到准线5的距离为$!'6!所以以*,,,,为直径的圆与准线5相切!故#正确(易知/为5上的点!又*/,,/!则以*,为直径的圆与准线5相切于点/!所以*,的中点的纵坐标为!!即*,的中点到轴的距离为!!故2#!%#,#!%#,1正确(#!$#,',!直线*,的斜率为',,'',!故3正确!!%,#!#,#!$#,%11!,!.23!以点/为坐标原点!/*!/-!//!所在直线分别为!#!0轴建立如图所示的空间直角坐标系!则*$,!(!(#!,$,!,!(#!-$(!,!(#!/$(!(!(#!/!$(!(!,#!,!$,!,!,#!-!$(!,!,#!)$(!%$%$%$,!,##!%$!!,!!#!*-'$%,!,!(#!,-!'$%,!(!,#!/!-'$(!%$%$%$,!%,#!%)'$%!!,%,!,#%!#!所以*-'%)',$,$,%,#!%$%$'1%,!当'时!*-'%)'(!故%),*-!故.正确(易知%'$(!(!!#是平面*,-/,!%$的一个法向量!因为'!%'%)',%!'(!所以%)-平面*,-/!故2正确(#,#1,%,%$,!%$%$&槡9当'#'时!%)'$%!!%!#!则456%%)!*-&''!异面直线%)&&&槡!1!1,槡,7&槡9!与*-所成角的余弦值为!故#错误(作))7,平面*,-/$图略#!因为'!所以)7为!1,!!4+)7,/-/的中点!即4+)7,/'7!7,'!!又二面角)%,/%-的平面角为!所以',14+),/!456!即4+),/'槡,!故3正确!1!&!%!因为5-$!所以,#!故'#'%1%!%&'(!故&'%!#.%,#!1!%1或!/!因为5!-5,!所以8'1!则5!与5,的距离为'槡!解得.'%0或.'槡1,$,,!,!则8$.'%1或8$.'!/!!!%1!%,*.(!,*!由#)*#',!可知点)在圆$$!#,$#,'1上!所以问题等价于$$!#,$#,'1与圆-有交点!所以,%!*槡$8$!#,$(*,$!!所以!*#8$!#*&!解得(*!高二数学参考答案!第!,页#共页$%!#$%!&{#{QQABaYYUggiAQBJAAQhCUwHACgOQkBECCCoOABAMsAABQBFABAA=}#}8*,或%1*8*%,!,(,,$,%!#:,槡/#(#(#(8:!/!#';!设%$(!#(#!则9%*'9%,''',,',,',!所以&($8(%8(%8(%88,,:,:,,槡/7',!即,'!所以1的渐近线方程为#';!,,,,88&&槡1%,槡$槡9#%,%$%$%$%$!%$%$%$!%$!!9!解)$!#/1'/*!$*!*$*1'%$*!,!$*!-!#%**!$*,'%#%$!……1分,,,%$%$!!!$,#/1',-'$%#%$#'$#%#'%#,%#'$$#'$'$…………………9分,,,!!!!!'%%($7!7!7$!7!7'!……………………………………………!(分,,,,1!0!解)$!#因为直线5与直线,$,#%!'(平行!所以直线5的斜率为%!!……………,分则直线5的方程为#%$%!#'%!$%,#!化简可得$#%!'(!……………………分$,#设圆-的方程为$%8#,$$#%:#,'6,!则:'8%!!………………………………/分因为圆-与#轴相切!所以6'#8#!………………………………………………………0分#8$:%!#,,,,,又圆心-到5的距离2'!所以2$$槡,#'6!即8',8%18$1!……!(分槡,解得8',!:'!!……………………………………………………………………………!!分故圆-的方程为$%,#,$$#%!#,'1!…………………………………………………!,分,,,#,#!:!解)$!#因为双曲线-与双曲线%'!有相同的渐近线!所以可设其方程为%',,$/(#!………………………………………………………………………………………&分,#,将$,!(#代入得'1!则所求双曲线的标准方程为%'!!…………………………分10$,#设*$!!#!#!,$,!#,#!则!$,'/!#!$#,'/!…………………………………/分,,!#!(%'!!10又因为…………………………………………………………………………0分',,,#,%'!!)10!!!!所以$#!$#,#$#!%#,#'$!$,#$!%,#!即有$#!%#,#'$!%,#!0101#!%#,所以',!……………………………………………………………………………!(分!%,所以直线*,的方程为#%&',$%&#!即,%#%&'(!……………………………!,分,(!$!#证明)取*-的中点(!连接(,!!(/!!因为*,-/是菱形!0*,!-'!所以+*-,!!+*-/为等边三角形!………………!分&所以(,!,*-!(/,*-!…………………………………………………………………,分!高二数学参考答案!第!&页#共页$%!#$%!&{#{QQABaYYUggiAQBJAAQhCUwHACgOQkBECCCoOABAMsAABQBFABAA=}#}又因为(,!!(/1平面(,!/!(,!2(/'(!……………………………………………&分所以*-,平面(,!/!……………………………………………………………………1分因为,!/1平面(,!/!所以*-,,!/!…………………………………………………分$,#解)因为平面*-,!,平面*-/!且平面*-,!2平面*-/'*-!,!(,*-!所以,!(,平面*-/!………………………………………………………………………………/分以(为坐标原点!分别以(/!(*!(,!所在直线为!#!0轴建立如图所示的空间直角坐标系!设*-',!则*$(!!!(#!-$(!%!!(#!/$槡&!(!%$%$%$(#!,!$(!(!槡&#!,!-'$(!%!!%槡&#!,!*'$(!!!%槡&#!*/'$槡&!%!!(#!…………………………………………………………………0分设平面*,!/的法向量为%'$!!#!!0!#!%$(%',!*'#!%槡&0!'(!则取0!'!!则!'槡&!!'!!所以%'$!!槡&!!#!………!(分'%$#)%'*/'槡&!%#!'(!%$%,槡&槡!456%,!-!%&''%!,7槡槡!所以,!-与平面*,!/所成角的正弦值为!………………………………………!,分%$%$,!!解)$!#设;$!##!则);',;$'$,%,!%,##!………………………………………!分所以)$&%,!&##!…………………………………………………………………………,分由)在抛物线-上可得$&##,'1$&%,#!即:#,'!,%0!……………………………1分则曲线1的方程为:#,'!,%0!…………………………………………………………分$,#设直线5的方程为'&#$!!设%$!!#!#!3$,!#,#!代入:#,'!,%0!消去得:#,%!,&#%1'(!,1&1则%'!11&$!113(!#!$#,'!#!#,'%!………………………………………9分&:,,,,所以#%3#'槡$!%,#$$#!%#,#'槡&$!'槡$#!$#,#%1#!#,!/&,!/1'槡&,$!'$'$&,$!#'1!………………………………………………:分槡::&所以&'槡,或&'%槡,!…………………………………………………………………!(分所以直线5的方程为%槡,#%!'(或$槡,#%!'(!………………………………!,分槡$%!#,$#,!,,!$!#解)设点)$!##!依题意可得'!…………………………………,分#1%#,化简得&,$1#,'!,!………………………………………………………………………1分,,所以曲线-的方程为$#'!!…………………………………………………………分1&$,#证明)设*$!!#!#!,$,!#,#!直线5)#'9$&!!高二数学参考答案!第!1页#共页$%!#$%!&{#{QQABaYYUggiAQBJAAQhCUwHACgOQkBECCCoOABAMsAABQBFABAA=}#},,($#'!!由'1&消去#得$&$19,#,$09&$1&,%!,'(!)#'9$&!则%'/19,&,%1$19,$&#$1&,%!,#'10$19,%&,$(!09&1&,%!,!$,'%!!,'!………………………………………………………/分&$19,&$19,%$%$%$因为四边形(*;,为平行四边形!所以(;'(*$(,!09&(('!$,'%!&$19,设;$(!#(#!则'………………………………………………9分/&#('#!$#,',!)&$19,,,,,(#(!/9&!,&,,又因为$'!!即$'!!得1&'&$19!………