精品解析：湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三上学期月考(一)数学试题（解析版）

大联考长沙市一中2024届高三月考试卷（一）数学时量：120分钟满分：150分一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设非空集合P，Q满足PQ，则表述正确的是（）A.xQ，有xPB.xP，有xQC.xQ，使得xPD.xP，使得xQ【答案】B【解析】【分析】根据子集的定义即可求解.【详解】因为P⊆Q，则由子集的定义知集合P中的任何一个元素都在Q中，而Q中元素不一定在P中(集合相等或不相等两种情况)，故B正确，ACD错误．故选：B2.设等比数列an的前n项和为Sn，若S1010,S2020，则S30（）A.20B.30C.35D.40【答案】B【解析】【分析】根据等比数列前n项和的性质列方程求解【详解】由等比数列an的前n项和的性质可得：S10,S20S10,S30S20也成等比数列，22S20S10S10S30S20，得201010S3020，解得S3030.故选：B.3.已知tan2，则cos（）24334A.B.-C.D.5555【答案】B第1页/共23页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】利用二倍角公式和同角三角函数的关系求解【详解】因为tan2，2cos2sin21tan23所以cos222，cos2sin21tan25222故选：B.2212xy24.抛物线xy的焦点到双曲线1(a0,b0)的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为4a2b22（）23A2B.3C.2D..3【答案】A【解析】【分析】先求得抛物线的焦点，根据点到直线的距离公式列方程，求得b2a2，由此求得双曲线的离心率.1【详解】抛物线xy2即y24x的焦点坐标为1,0，4x2y2b双曲线1(a0,b0)的渐近线方程为yx，即bxay0，a2b2ab2所以点1,0到直线bxay0的距离为，则b2a2，b2a22cc2b2则双曲线的离心率为e1112.aa2a2故选：Arr5.已知非零向量a,b，则下列命题错误的是（）rrrrA.|ab||a||b|rrrrB.|ab||a||b|rraC.与向量a共线的单位向量为ra第2页/共23页学科网（北京）股份有限公司rbrrrrrrD.记re，则向量a在向量上的投影向量为aeebb【答案】C【解析】【分析】利用向量数量积的定义判断A；利用向量加法的三角形法则判断B；利用单位向量的定义判断C；利用投影向量的定义判断D.rrrrrrrr【详解】对于选项A：ababcosa,bab,故A正确；rrrrrrrr对于选项B：当a,b不共线时，由向量加法的三角形法则，可得|ab||a||b|；当a,b反向共线时，rrrrrrrrrrrr可得|ab|||a||b|||a||b|；当a,b同向共线时，可得|ab||a||b|；综合可得rrrrabab，故B正确；rra对于选项C：与向量a共线的单位向量为r，故C错误；arbrrrrrrr对于选项D:由re，易知a,ba,e，所以向量a在向量上的投影向量为bbrrrrrrracosa,beaee；故D正确.故选：C.6.已知随机变量X服从正态分布N,2，有下列四个命题：甲：P(Xm1)P(Xm2)；乙：P(Xm)0.5；丙：PXm0.5；丁：P(m1Xm)P(m1Xm2)如果只有一个假命题，则该命题为（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D【解析】【分析】根据正态曲线的对称性可判定乙､丙一定都正确，继而根据正态曲线的对称性可判断甲和丁，即得答案.【详解】因为只有一个假命题，故乙､丙只要有一个错，另一个一定错，不合题意，第3页/共23页学科网（北京）股份有限公司所以乙､丙一定都正确，则m,P(Xm1)P(Xm1)P(Xm2)，故甲正确，根据正态曲线的对称性可得P(m1Xm)P(mXm1)P(m1Xm2)，故丁错.故选：D.7.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M,N分别为棱A1D1,DD1的中点，过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（）ππ3ππA.B.C.D.6482【答案】C【解析】【分析】易得正方体外接球的球心在其中心点O处，要使过MN的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段MN的中点Q求解.【详解】解：如图，13正方体外接球的球心在其中心点O处，球的半径R121212，22要使过MN的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段MN的中点Q，2连接OM,ON，则OMONMN，22216所以OQOMMN，24第4页/共23页学科网（北京）股份有限公司6此时截面圆的半径rR2OQ2，43此时，截面面积的最小值Sπr2π.8故选：C.118.设fxxaaR，记fx在区间,4上的最大值为Ma，则Ma的最小值为x2（）915A.0B.C.D.288【答案】B【解析】11【分析】设gxxa,x,4，利用单调性求出gx的最值，再根据绝对值的意义确定x2Ma，利用一次函数求解Ma的最小值即可.111【详解】设gxxa,x,4，则gx在,1上单调递减，在1,4上单调递增，x221517且ga,g12a,g4a，224517所以Ma是a,2a,a三者中的较大者，如图：241725a,a48Ma表示的函数图象为图中粗线部分，且Ma，25a2,a8259所以当a时，Ma的最小值为.88故选：B.第5页/共23页学科网（北京）股份有限公司二､多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）7319.已知fxx，则（）xA.fx的展开式中没有常数项B.fx的展开式中系数最大的项是35x5C.fx的展开式的二项式系数之和为128D.fx的展开式中各项的系数之和为1【答案】ABC【解析】【分析】利用二项展开式的通项可判断A；结合二项式系数的性质以及二项展开式的通项可判断B；根据二项式系数和性质可判断C；利用赋值法求得项的系数和可判断D.731【详解】对于选项A:fxx的二项展开式的通项为xr7r1r3rr214r，C7x(1)C7x,r0,1,2,L,7x不满足214r0，故fx的展开式中没有常数项，故A正确；r34对于选项B：由于C7,r0,1,2,L,7的最大值为C7,C7，421445故展开式中系数最大的项是C7x35x，故B正确；对于选项C：展开式的二项式系数之和为27128，故C正确；对于选项D：令x1，可得展开式中各项的系数之和为070，故D错误.故选：ABC.10.如图，AD与BC分别为圆台上､下底面直径，AD//BC，若AB3,AD2,BC4，则（）第6页/共23页学科网（北京）股份有限公司A.圆台的全面积为14πB.圆台的体积为142π5πC.圆台的中截面（过圆台高的中点且平行底面的截面）面积为2D.从点A经过圆台的侧面到点C的最短距离为33【答案】AD【解析】【分析】根据题目所给数据代入圆台的全面积公式和体积公式可知A正确，B错误；易知圆台的中截面是9π以等腰梯形ABCD的中位线为直径的圆，可得其截面积为，所以C错误；根据圆台侧面展开图利用弧4长公式和余弦定理即可求得点A经过圆台的侧面到点C的最短距离为33，即D正确.【详解】对于A选项：圆台的全面积包括上下底面积及侧面积，底面积为π12π225π，根据圆台侧面积公式可得其侧面积为π1239π，所以圆台的全面积为14π，故A正确；1142π对于B选项：根据台体体积公式可得圆台的体积为π12π22π122222，故33B错误；对于C选项：易知圆台的轴截面ABCD为等腰梯形，其中位线为中截面圆的直径，224339π所以中截面圆的半径长为，所以中截面圆的面积为π，故C错误；4224对于D选项：将圆台沿着轴截面ABCD切开，将圆台的侧面的一半展开，延长BA､CD交于点M，如图所示：1在圆台的轴截面等腰梯形ABCD中，AD∥BC,ADBC，2根据台体性质易知A,D分别为BM,CM的中点，所以AMDMAB3，第7页/共23页学科网（北京）股份有限公司1π设AMD，则»AD32π1，则，23π在△ACM中，AM3,CM6,AMD，由余弦定理可得3π1ACAM2CM22AMCMcos326223633，32因此，从点A经过圆台的侧面到点C的最短距离为33，故D正确.故选：AD.11.如图，直线MN与半径为1的圆O相切于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，在旋转过程中，PK交eO于点Q，设KPN为x（其中x0,π），射线PQ扫过的圆O内部的区域（阴影部分）的面积为Sfx，则下列说法正确的有（）ππ3A.f334πB.函数fx的单调递增区间为0,2ππC.函数fx图象的对称中心为,22πD.函数fx在x处的瞬时变化率最大2【答案】ACD【解析】【分析】根据扇形及三角形面积公式求出fx即可判断A，求导数利用三角函数的有界性可判断B，根据函数对称性的性质判断C，根据导数的几何意义三角函数有界性判断D.111【详解】由题意，POQ2x，则fx122x12sin2xxsin2x,x0,π.222ππ3所以f，故选项A正确；334第8页/共23页学科网（北京）股份有限公司因为fx1cos2x0，故函数fx的单调递增区间为0,π，故选项B错误；ππ因为fxfπxπ，所以fx的图象关于点,中心对称，故选项C正确；22ππf2fx，故x时，函数fx的瞬时变化率最大，故选项D正确.22故选：ACD.m,n12.已知数列an满足a11,a22,a33，且对任意的正整数，都有a2ma2n2amnmn，则下列说法正确的有（）A.a45B.数列a2n2a2n是等差数列n23C.a2n3n1D.当n为奇数时，an4【答案】ABD【解析】【分析】令m1,n2，求得a4，判断A；根据等差数列定义可判断B；结合B的分析采用累加法可判2断C；结合C，令mn1，得a2n2a2n2a2n11，求得a2n1nn1，即可判断D.【详解】由题意知a11,a22,a33，令m1,n2，得a2a42a31，解得a45，故A正确.此时a4a23，令mn2，得a2n4a2n2a2n22，从而a2n4a2n2a2n2a2n2，所以数列a2n2a2n是以3为首项，2为公差的等差数列，故B正确.所以a2n2a2n32(n1)2n1，所以a2na2a2na2n2a2n2a2n4La4a22n12n3L3n12n2n21，22所以a2nn1，故C错误.aa1令mn1，得aa2a1，所以a2n22nn2n1，2n22n2n12n