湖南省郴州市2024届高三上学期第一次教学质量监测试卷（10月）数学+Word版含答案

科目：数学（试题卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.4.考试时间为120分钟，满分为150分.5.本试题卷共5页.如缺页，考生须声明，否则后果自负.姓名__________.准考证号__________.郴州市2024届高三第一次教学质量监测试卷数学一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知复数是方程的一个根，则实数的值是（）A.0B.8C.24D.263.“”是“直线与圆相切”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A.B.C.D.5.设数列满足且是前项和，且，则（）A.2024B.2023C.1012D.10116.有三个数：，大小顺序正确的是（）A.B.C.D.7.湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择王仙岭中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则（）A.B.C.D.8.已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.二､多选题（共4个小题，每小题5分，计20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.若随机变量服从正态分布，且，则B.一组数据的第60百分位数为14C.若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强D.对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是-410.已知函数向左平移个单位长度，得到函数的图像，若是偶函数，则（）A.的最小正周期为B.点是图像的一个对称中心C.在的值域为D.函数在上单调递增11.定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（）A.B.为的对称轴C.D.12.在圆锥中，母线，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则（）A.当时，则圆锥的体积为B.当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为C.当时，圆锥的外接球表面积为D.当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知函数是偶函数，则__________.14.在二项式的展开式中只有第4项二项式系数最大，则展开式中常数项为__________.15.已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为__________.16.若存在，使得函数与的图象有公共点，且在公共点处的切线也相同，则的最大值为__________.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.（10分）在数列中，为数列的前项和，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若.求数列的前项和.18.（12分）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，四边形是平行四边形，且，以为直径的圆经过点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.19.（12分）已知向量，函数.（1）若，求的值；（2）已知为锐角三角形，为的内角的对边，，且，求面积的取值范围.20.（12分）已知函数.（1）若曲线在处切线与轴平行，求；（2）若在处取得极大值，求的取值范围.21.（12分）随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择B套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为.（1）求同学甲第二天选择套餐的概率；（2）证明：数列为等比数列；（3）从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去餐厅就餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择去餐厅就餐的概率，求取最大值时对应的的值.22.（12分）已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足.（1）求的值，并证明：线段的垂直平分线过定点；（2）设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的斜率.郴州市2024届高三第一次教学质量监测试卷数学参考答案及评分细则一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1-5CDABC6-8ABC二､多选题（共4个小题，每小题5分，计20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.ACD10.BC11.BCD12.AC三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.114.15.916.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.解：（1）当时，，解得.当时，即，所以.所以是以为首项，以2为公比的等比数列.故.（2），18.解答分析（1）因为以为直径的圆经过点，所以.因为四边形为矩形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以，又因为平面平面平面，所以平面，（2）因为平面，又因为平面平面，所以，又因为，所以，则两两互相垂直，以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，所以在Rt中，由勾股定理得，则点，则，.设平面的法向量为，平面的法向为则得取分设平面与平面的夹角为，则所以平面与平面夹角的余弦值为19.解（1），则；，（2），即；因为，所以，因为为锐角三角形，所以解得，则故，即面积的取值范围为20.解：（1）曲线在处切线与轴平行，，解得.（2）的定义域为.①当时，令得，令得.在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值.②当时，令得，令得.在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值.③当时，（i）当时，在上单调递增，无极值，不符合题意.（ii）当时，，令得，令得或.在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.在处取得极小值，不符合题意.（iii）当时，，令得，令得或.在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.在处取得极大值.综上所述，的取值范围为.21.解（1）设“第1天选择套餐”，“第2天选择套餐”，则“第1天不选择套餐”.根据题意.由全概率公式，得.（2）设“第天选择B套餐”，则，根据题意.由全概率公式，得因此.因为，所以是以为首项，为公比的等比数列.（3）第二天选择A类套餐的概率由题意可得，同学甲第二天选择类套餐的概率为，则不选择类套餐的概率为所以，即有，当取最大值时，则，即解得，且，所以.22.（1）由题意可知，将点代入抛物线方程，可得，解得，则抛物线方程为设直线的方程为：，联立方程：或由韦达定理得：根据抛物线定义：设的中点坐标为，则，的垂直平分线方程为：，将代入整理得：故的垂直平分线过定点.由（1）得.点到直线的距离的面积为，设，则令，令在上单调递增，在上单调递减